(五)坐标系与参数方程1.(2022·钦州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-3,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,与坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-3=0.(1)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围;(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.解 (1)将曲线C的极坐标方程ρ2-2ρcosθ-3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0,直线l的参数方程为(t为参数),将参数方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcosα+12=0.∵直线l与曲线C有公共点,∴Δ=64cos2α-48≥0,∴≤cosα≤1或-1≤cosα≤-,∵α∈[0,π),∴α的取值范围是∪.(2)曲线C的方程x2+y2-2x-3=0可化为(x-1)2+y2=4,其参数方程为(θ为参数),∵M(x,y)为曲线上任意一点,∴x+y=1+2cosθ+2sinθ=1+2sin,4\n∴x+y的取值范围是[1-2,1+2].2.(2022·安徽省“皖江八校”联考)在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=0,圆C2:(x-1)2+(y-1-)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C1与C2的交点为A,C2与C3的交点为B,求△OAB的面积.解 (1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=0,即θ=(ρ∈R),C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2(1+)ρsinθ+3+2=0.(2)设A,B,将θ=代入ρ2-2ρcosθ-2(1+)ρsinθ+3+2=0,得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ1=1+.将θ=代入ρ2-2ρcosθ-2(1+)ρsinθ+3+2=0,得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ2=1+.故△OAB的面积为×(1+)2×sin=1+.3.(2022·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知曲线C1的参数方程为(t为参数,0≤α<π),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin.(1)若极坐标为的点A在曲线C1上,求曲线C1与曲线C2的交点坐标;(2)若点P的坐标为(-1,3),且曲线C1与曲线C2交于B,D两点,求|PB|·|PD|.解 (1)点对应的直角坐标为(1,1),由曲线C1的参数方程知,曲线C1是过点(-1,3)的直线,故曲线C1的方程为x+y-2=0.4\n而曲线C2:ρ=2sin可化为ρ2=2ρ(sinθ+cosθ),得直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0.联立解得或故交点坐标分别为(2,0),(0,2).(2)由判断知P在直线C1上,将代入方程x2+y2-2x-2y=0,得t2-4(cosα-sinα)t+6=0,设点B,D对应的参数分别为t1,t2,则|PB|=|t1|,|PD|=|t2|,又t1t2=6,所以|PB|·|PD|=|t1|·|t2|=|t1t2|=6.4.(2022·辽宁省重点高中协作体模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C的交点分别为M,N,求|MN|.解 (1)因为ρcos2θ=8sinθ,所以ρ2cos2θ=8ρsinθ,即x2=8y,所以曲线C表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y轴的抛物线.(2)直线l过抛物线的焦点(0,2),且参数方程为(t为参数),代入曲线C的直角坐标方程,得t2-2t-20=0,所以t1+t2=2,t1t2=-20.所以|MN|=|t1-t2|===10.5.(2022·宁夏回族自治区银川一中模拟)在直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(t为参数),圆C2与圆C1外切于原点O,且两圆圆心的距离|C1C2|=3,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C1和圆C2的极坐标方程;(2)过点O的直线l1,l2与圆C2异于点O的交点分别为点A和点D,与圆C1异于点O4\n的交点分别为点C和点B,且l1⊥l2.求四边形ABCD面积的最大值.解 (1)由圆C1的参数方程(t为参数),得圆C1:(x+1)2+y2=1,故C1(-1,0),r1=1.又圆C2与圆C1外切于原点O,且两圆圆心的距离|C1C2|=3,所以C2(2,0),r2=2,故圆C2的方程为(x-2)2+y2=4.所以由得圆C1的极坐标方程为ρ=-2cosθ,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.(2)由已知设A(ρ1,θ),由l1⊥l2可得,B,C(ρ3,θ+π),D.由(1)得所以S四边形ABCD=|AC|·|BD|=(ρ1+ρ3)(ρ2+ρ4)=18sinθcosθ=9sin2θ.所以当sin2θ=1,即θ=时,S四边形ABCD有最大值9.4