课时规范练32 基本不等式及其应用基础巩固组1.设0<a<b,则下列不等式正确的是( ) A.a<b<ab<a+b2B.a<ab<a+b2<bC.a<ab<b<a+b2D.ab<a<a+b2<b2.(2022山东枣庄一模,文5)若正数x,y满足1y+3x=1,则3x+4y的最小值是( )A.24B.28C.25D.263.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是( )A.3B.4C.5D.64.函数y=x2+2x+2x+1(x>-1)的图象的最低点的坐标是( )A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)5.(2022山东日照一模,文6)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则1a+4b的最小值为( )A.8B.9C.16D.186.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元7.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为( )A.2B.32C.1D.12〚导学号24190921〛9.(2022山东,文12)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 . 10.(2022江苏徐州模拟)已知正数a,b满足2a2+b2=3,则ab2+1的最大值为 . 11.(2022山西临汾二模,文14)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,6\n家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠) .(在横线上填甲或乙即可) 12.设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab≥22.〚导学号24190922〛综合提升组13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为( )A.1B.2C.3D.414.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则x+yxy的最小值是 . 15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是 . 16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?〚导学号24190923〛创新应用组17.若正实数x,y满足x+y+1x+1y=5,则x+y的最大值是( )A.2B.3C.4D.518.(2022山东德州一模,文9)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则4a2+1b2的最小值为( )A.1B.3C.4D.5〚导学号24190924〛6\n答案：1.B ∵0<a<b,∴a<a+b2<b,故A,C错误;ab-a=a(b-a)>0,即ab>a,D错误,故选B.2.C ∵正数x,y满足1y+3x=1,∴3x+4y=(3x+4y)1y+3x=13+3xy+12yx≥13+3×2xy·4yx=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y的最小值是25.故选C.3.B 由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,∴m+n=2(a+b)≥4ab=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.D ∵x>-1,∴x+1>0.∴y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+1≥2,当且仅当x+1=1x+1,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B 由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.6.C 设底面矩形的长和宽分别为am,bm,则ab=4m2.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40ab=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.D x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥8,当且仅当4yx=xy,即x=2y=4时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.8.C 由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3.因为a>1,b>1,所以ab≤a+b22=3,所以lg(ab)≤lg3,从而1x+1y≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.9.8 ∵直线xa+yb=1过点(1,2),∴1a+2b=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)·1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8.6\n当且仅当b=2a时等号成立.10.2 ab2+1=22×2ab2+1≤22×12(2a2+b2+1)=24×(3+1)=2,当且仅当2a=b2+1,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.故ab2+1的最大值为2.11.乙 甲购买产品的平均单价为3a+3b6=a+b2,乙购买产品的平均单价为2022a+10b=2aba+b.∵a+b2-2aba+b=(a-b)22(a+b)≥0,且两次购买的单价不同,∴a≠b,∴a+b2-2aba+b>0,∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明因为a,b均为正实数,所以1a2+1b2≥21a2·1b2=2ab,当且仅当1a2=1b2,即a=b时等号成立,又因为2ab+ab≥22ab·ab=22,当且仅当2ab=ab时等号成立,所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥22,当且仅当1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42时等号成立.13.D 令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对任意实数x,y都成立,∴2x+a2x≥f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.14.23+4 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,可得x+3y=1.x+yxy=(x+y)(x+3y)xy=x2+3y2+4xyxy=xy+3yx+4≥2xy·3yx+4=23+4.当且仅当x=3y,x+3y=1,即y=3-36,x=3-12时等号成立.6\nx+yxy的最小值是23+4.15.(-∞,1)∪(9,+∞) ∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.16.解(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x,则L(x)=-13x2+40x-250,0<x<80,1200-x+10000x,x≥80.(2)当0<x<80时,L(x)=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x时,即x=100时,L(x)取得最大值1000.因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1000万元.17.C ∵x>0,y>0,xy≤(x+y)24,∴1xy≥4(x+y)2,x+yxy≥4x+y,即1x+1y≥4x+y,∴x+y+1x+1y≥x+y+4x+y.即x+y+4x+y≤5.设x+y=t,则t>0,∴t+4t≤5,得到t2-5t+4≤0,解得1≤t≤4,∴x+y的最大值是4.18.A 由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,6\n圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b2=16,∴4a2+1b2=1164a2+1b2·(a2+4b2)=1168+16b2a2+a2b2≥116(8+8)=1,当且仅当16b2a2=a2b2,即a2=8,b2=2时,等号成立,故选A.6
