课时规范练55 不等式选讲基础巩固组1.(2022山西吕梁二模,23)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.〚导学号24190846〛2.(2022辽宁鞍山一模,文23)设函数f(x)=x-52+|x-a|,x∈R.(1)当a=-12时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值.3.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.8\n4.已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.5.(2022山西临汾三模,23)已知函数f(x)=|x+2|-m,m∈R,且f(x)≤0的解集为[-3,-1].(1)求m的值;(2)设a,b,c为正数,且a+b+c=m,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.8\n〚导学号24190847〛综合提升组6.(2022辽宁沈阳一模,23)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M,(1)证明:13a+16b<14;(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.7.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.8\n8.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤13;(2)a2b+b2c+c2a≥1.〚导学号24190848〛创新应用组9.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.8\n10.(2022河北邯郸二模,文23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.(1)若关于x的不等式f(x)<g(x)有解,求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为b,72,求a+b的值.答案：1.解(1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-32;当-1<x<1时,1-x+x+1=2≥3不成立;当x≥1时,x-1+x+1=2x≥3,解得x≥32.综上可得,f(x)≥3的解集为-∞,-32∪32,+∞;(2)∃x∈R,使得f(x)<2成立,即有2>f(x)min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,则|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.8\n则实数a的取值范围为(-1,3).2.解(1)f(x)=x-52+x+12=-2x+2,x<-12,3,-12≤x≤52,2x-2,x>52.由f(x)≥4得x<-12,-2x+2≥4或x>52,2x-2≥4.解得x≤-1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}.(2)由绝对值的性质得f(x)=x-52+|x-a|≥x-52-(x-a)=a-52,所以f(x)的最小值为a-52,从而a-52≥a,解得a≤54,因此a的最大值为54.3.解(1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x≤2,1,2<x<3,2x-5,x≥3.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].4.解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).5.解(1)由题意,|x+2|≤m⇔m≥0,-m-2≤x≤m-2',由f(x)≤0的解集为[-3,-1],得-m-2=-3,m-2=-1,解得m=1.8\n(2)由(1)可得a+b+c=1,由柯西不等式可得(3a+1+3b+1+3c+1)(12+12+12)≥(3a+1+3b+1+3c+1)2,∴3a+1+3b+1+3c+1≤32,当且仅当3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13时等号成立,∴3a+1+3b+1+3c+1的最大值为32.6.(1)证明记f(x)=|x-1|-|x+2|=3,x≤-2,-2x-1,-2<x<1,-3,x≥1,由-2<-2x-1<0解得-12<x<12,则M=-12,12.∵a,b∈M,∴|a|<12,|b|<12.∴13a+16b≤13|a|+16|b|<13×12+16×12=14.(2)解由(1)得a2<14,b2<14.因为|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=(4a2-1)(4b2-1)>0,所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.7.解(1)f(x)=-2x,x≤-12,1,-12<x<12,2x,x≥12,当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-12<x<12时,f(x)<2;当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.8.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,8\n故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.所以a2b+b2c+c2a≥1.9.解(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为x23<x<2.(2)由题设可得,f(x)=x-1-2a,x<-1,3x+1-2a,-1≤x≤a,-x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10.解(1)当x=2时,g(x)=a-|x-2|取最大值为a,∵f(x)=|x+1|+|x-3|≥4,当且仅当-1≤x≤3,f(x)取最小值4,又关于x的不等式f(x)<g(x)有解,∴a>4,即实数a的取值范围是(4,+∞).(2)当x=72时,f(x)=5,则g72=-32+a=5,解得a=132,∴当x<2时,g(x)=x+92,令g(x)=x+92=4,得x=-12∈(-1,3),∴b=-12,则a+b=6.8
