专题9.2两条直线的位置关系【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测两直线的位置关系(1)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。（2）会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离。2022•浙江文.17；理.16,21;2022•浙江文.19；2022•浙江文.19；1.考查两直线平行、垂直的充要条件.2.考查两直线的交点、对称问题．3.考查距离的计算与应用.4.与其它知识相结合，考查平行、垂直及距离的应用.5.备考重点：(1)掌握两直线平行、垂直的充要条件；(2)掌握距离公式；（3）掌握常见对称问题的解法.【知识清单】1.两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1)对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.对点练习：1.【2022届四川省南充高级中学高三9月检测】已知直线.若，则实数的值是（）12\nA.或B.或C.D.【答案】A2.【2022届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校高三下学期联考】已知直线，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线的充要条件是或。故选A。2.距离问题1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.对点练习：【2022届河北武邑中学高三周考】过点，且与原点距离最大的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A12\n3.两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．对点练习：【2022届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求（1）过点且与平行的直线方程；（2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：(1)先求，写出直线点斜式方程，整理得解(2)先求两条直线的交点，设出直线方程，利用点到直线的距离，求出k，从而确定直线方程．试题解析：（1）∴∴∴（2）∴，当斜率不存在，则方程为，不合题意当斜率存在，设方程,12\n而,∴,∴,，∴或，∴方程为或.4.对称问题1.中点坐标公式2．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.对点练习：【2022届江西省赣州市第四中学高三上第三次月考】点关于直线的对称点为，则点的坐标为____________．【答案】【考点深度剖析】高考对两条直线的位置关系的考查要求较低，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握对两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视．【重点难点突破】考点1两条直线平行与垂直【1-1】已知两条直线．求证：.【答案】见解析12\n【解析】由于，所以.【1-2】若直线与直线互相垂直，那么的值等于.【答案】【领悟技法】1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）.【触类旁通】【变式一】已知两条直线．求证：．【答案】见解析【解析】因为，所以．【变式二】已知直线，，若，则．【答案】【解析】由已知时不合题意；时，由，这时．故.【综合点评】给定两条直线的方程，可以判断两条直线是否平行、相交或垂直.若是告诉我们两条直线平行或是垂直，则可得两直线的斜率间的关系．考点2距离问题【2-1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.12\n【2-2】已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积．【答案】【领悟技法】1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．2.求两条平行线间的距离有两种思路：（1）利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．（2）直接应用两平行直线之间的距离公式.【触类旁通】【变式一】点A（1，3），B（5，－2），点P在x轴上使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为（）A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)【答案】B【解析】如下图，作出点关于轴对称的点，则，当且仅当点在的延长线上时，取等号.由两点式可得直线的方程为：.令得，所以点的坐标为，选B.12\n【变式二】【2022届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】点到直线的距离是__________．【答案】【综合点评】涉及距离公式问题，主要有两类，一是给定点和直线，则可求相关的距离；二是已知某距离，利用距离公式确定相关的量.考点3两条直线的交点【3-1】经过两条直线和=0的交点，且斜率为的直线方程是（ ）A．2x+y﹣7=0B．2x﹣y﹣7=0C．2x+y+7=0D．2x﹣y+7=0【答案】【解析】两条直线和的交点，由解得，所以，经过两条直线和的交点，且斜率为的直线方程是，即，故选．【3-2】已知两条直线：，：的交点为P(1，－3)，求B、C的值.【答案】【解析】将点P(1，－3)的坐标代入方程、得，解这个方程组得.【领悟技法】涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.12\n【触类旁通】【变式一】若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是________．【答案】或【变式二】已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.【答案】见解析【解析】(1)设的交点为，代入两直线的方程得：.∴选B．(2)因为两直线交于一点，所以.解方程组得即交点为.若，则.当时，，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有，故，所以，交点不可能在轴上.【综合点评】涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化.考点4对称问题【4-1】设【2022届浙江台州中学高三10月月考】的一个顶点是，，的平分线方程分别是，，则直线的方程是（）A.B.C.D.【答案】C.12\n【4-2】直线关于点对称的直线方程为________.【答案】【解析】设对称直线为，则有，解这个方程得或.结合图形可看出时两直线都在点的同侧，故舍去.所以对称直线的方程中．【4-3】已知直线若直线与关于对称,则的方程是( )【答案】 【解析】由得：.必过与的交点.在上取点，易得点关于对称的点为，即为直线，所以的方程为，即，故选.【领悟技法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．3．若直线关于直线对称，则在直线12\n上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．【触类旁通】【变式一】在△ABC中，已知A（2，3），角B的外角平分线为Y轴，角C的平分线为：x+y=4,求BC边所在的直线方程.【答案】【变式二】光线从发出射到直线：x+y=4上的E点，经反射到y轴上F点，再经y轴反射又回到Q点，求直线EF的方程.【答案】【解析】设Q关于y轴的对称点为，则的坐标为.设Q关于的对称点为，则中点为G，G在l上.，①又②由①②得由物理学知识可知，、在直线EF上，.直线EF方程为:，即.【综合点评】对称问题实际上是两直线位置关系的应用，主要是应用转化与化归思想、数形结合思想分析求解.【易错试题常警惕】易错典例：已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．易错分析：(1)不能结合图形，分析直线的位置关系；（2）计算能力差，解方程组有误．12\n同理，点B关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为B′.∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A′点在直线BC上．∴直线BC的方程为y＝x－1，整理得12x－31y－31＝0.同理，直线AC的方程为y－5＝(x＋1)，整理得24x－23y＋139＝0.直线AB的方程为y＝x－1，整理得6x＋y＋1＝0.温馨提醒：在两直线位置关系问题研究中，涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；涉及两直线的垂直、平行的判定，一般将直线化成斜截式方程再进行判定.注意点：一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）；数形结合思想，是解析几何分析问题、解决问题的重要特征，要注意将几何问题与代数问题灵活地加以转化.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.12\n在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2022届河北武邑中学高三周考】过点的直线被两平行线与截得的线段长，求直线的方程.【答案】.【解析】由解得；由解得，因为，所以，整理得，解得或．12
