第07节立体几何中的向量方法班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为A．B．C．与相交不垂直D．【答案】D【解析】，而点不在内，故2.【浙江省杭州市萧山区第一中学月考】若a=(2,-1,0)，b=(3,-4,7)，且（λa+b)⊥a，则λ的值是（）A.0B.1C.-2D.2【答案】C3.【2022年河南省信阳市期末】设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量，n=(1,2,-1)是平面a的法向量，则（）A.l⊥aB.l∥aC.l⊂a或l⊥aD.l∥a或l⊂a【答案】D【解析】因为a∙n=3×1+-2×2+-1×-1=0，所以a⊥n，即l∥a或l⊂a.故选D.-22-\n4.【2022年福建省数学基地校】二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为( )(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】由条件知，，.∴.∴，，∴二面角的大小为；故选C.5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )A．(1，1，1) B.C. D.【答案】 C-22-\n6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为( )A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对【答案】 C-22-\n7.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．经验证，当n＝时，n·＝－＋0＝0，n·＝＋0－＝0，故选D.8.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面【答案】B9.已知长方体，下列向量的数量积一定不为的是（）-22-\nBACDA1B1C1D1A．B．C．D．【答案】D【解析】当侧面是正方形时可得=0，所以排除A.当底面ABCD是正方形时AC垂直于对角面.所以排除B.显然排除C.由图可得与BC所成的角小于.故选D.10.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )A．a2B.a2C.a2D.a2【答案】 C-22-\n11．【2022学山东省烟台市期末】在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4,AA1=6.若E,F分别是棱BB1,CC1上的点，且BE=B1E,C1F=13CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A.-26B.26C.-210D.210【答案】D【解析】-22-\n以C为原点,CA为x轴,在平面ABC中过作AC的垂线为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,AB=4,AA1=6,E,F分别是棱BB1,CC1上的点,且BE=B1E,C1F=13CC1,∴A1(4,0,6),E(2,23,3),F(0,0,4),A(4,0,0)A1E=(-2,33,-3),AF=(-4,0,4),设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ,则cosθ=|A1E⋅AF|||A1E|⋅|AF||=4202=210.所以异面直线A1E与AF所成角的余弦值为210.故选D.12.【甘肃西北师大附中高三11月月考】已知等差数列的前n项和为，且，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．B．(2，4)C．D.（-1，-1）【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）-22-\n13．【2022届河北省定州中学高三上第二次月考】已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，H在B1D1上，则DP与CC1所成角的大小为___________.【答案】45∘14．在三棱柱中，侧棱底面，，，，若直线与直线的夹角的余弦值是，则棱的长度是__________．【答案】-22-\n【解析】如图建立坐标系设，则15．【2022届河北省衡水中学押题卷】如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．【答案】16.【2022届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，三条棱,,都在平面的同侧.若顶点,到平面的距离分别为,，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为________-22-\n【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，设令可得设，解得；则的法向量为-22-\n由得，∴，平面的法向量为，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）【2022届贵州省黔东南州高三上第一次联考】如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，为正三角形，且分别为的中点，平面，平面．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：（1）证明：因为平面，平面，-22-\n所以，又平面平面，所以平面，由四边形菱形，得，所以平面．（2）解：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，则，，则点，，设平面的法向量为，则由，解得，不妨令，得；又，-22-\n所以与平面所成角的正弦值为．18．（本小题满分12分）【2022届湖北省部分重点中学高三起点】在如图所示的多面体中，四边形为正方形，底面为直角梯形，为直角，∥，，平面平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).设，以所在直线分别为轴建立如图坐标系，-22-\n则，，，，，，∵，∴.（2）由（1）知是平面的一个法向量，设是平面的法向量，∵，∴，，∴，，由，得，由，得，令，得，故是平面的一个法向量，∴，即二面角的余弦值为.19.（本小题满分12分）【2022课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．-22-\n（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.【答案】(1)证明略；(2).【解析】（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则-22-\n由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．-22-\n【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）满足条件的Q存在，是EF中点．（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设，-22-\n∵，∴，，λ∈[0，1]，设平面PAQ的法向量为，由，可得，∴，由已知：，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．21.（本小题满分12分）【2022高考天津理数】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）-22-\n.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角-22-\n的正弦值为.（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.22.（本小题12分）【2022年高考北京理数】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，-22-\n试题解析：（1）因为平面平面，，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.-22-\n（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.-22-
