8.7立体几何中的向量方法\n-2-知识梳理双基自测234151.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的非零向量e以及与的非零向量叫做直线l的方向向量.(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作.此时把叫做平面α的法向量.e共线垂直于n⊥α向量n\n-3-知识梳理双基自测234152.线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量为n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1∥l2,那么e1∥e2⇔⇔.(2)如果l1⊥l2,那么e1⊥e2⇔⇔.(3)若l1∥α,则e1⊥n1⇔e1·n1=0⇔.(4)若l1⊥α,则e1∥n1⇔e1=μn1⇔.(5)若α∥β,则n1∥n2⇔n1=kn2⇔.(6)若α⊥β,则n1⊥n2⇔n1·n2=0⇔.e2=λe1a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1e1·e2=0a1a2+b1b2+c1c2=0a1x1+b1y1+c1z1=0a1=μx1,b1=μy1,c1=μz1x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2x1x2+y1y2+z1z2=0\n-4-知识梳理双基自测234153.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角①范围:两条异面直线所成的角θ的取值范围是.②向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为θ,a与b的夹角为φ,则有cosθ=.(2)直线与平面所成的角①范围:直线和平面所成的角θ的取值范围是.②向量求法:设直线的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sinθ=或cosθ=sinφ.|cosφ||cosφ|\n-5-知识梳理双基自测23415(3)二面角①范围:二面角的取值范围是.②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的大小.[0,π]\n-6-知识梳理双基自测23415\n-7-知识梳理双基自测23415\n2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.()(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.()(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.()××√××\n-9-知识梳理双基自测234152.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234153.已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空间直角坐标系中,如图所示,且CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测234154.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.\n-12-知识梳理双基自测23415\n-13-知识梳理双基自测234155.已知P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在平面α,β上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为.90°\n-14-知识梳理双基自测23415\n-15-考点1考点2考点3例1如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB∥平面EFG.思考用向量法证明平行和垂直的常用方法有哪些?\n-16-考点1考点2考点3证明∵平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,∴AB,AP,AD两两垂直.以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则点A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).\n-17-考点1考点2考点3\n-18-考点1考点2考点3解题心得1.用向量法证明平行类问题的常用方法\n-19-考点1考点2考点32.用向量法证明垂直类问题的常用方法\n-20-考点1考点2考点3对点训练1如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.\n-21-考点1考点2考点3证明:(1)由题意建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.所以点O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).\n-22-考点1考点2考点3\n-23-考点1考点2考点3例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.思考立体几何开放性问题的求解方法有哪些?\n-24-考点1考点2考点3\n-25-考点1考点2考点3\n-26-考点1考点2考点3解题心得立体几何开放性问题的求解方法有以下两种:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判定关于z0的方程是否有解.\n-27-考点1考点2考点3对点训练2如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.\n-28-考点1考点2考点3\n-29-考点1考点2考点3\n-30-考点1考点2考点3考向一利用空间向量求异面直线所成的角例3如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.思考如何利用向量法求异面直线所成的角?\n-31-考点1考点2考点3\n-32-考点1考点2考点3从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.\n-33-考点1考点2考点3\n-34-考点1考点2考点3考向二利用空间向量求直线与平面所成的角例4如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.思考如何利用向量法求线面角?\n-35-考点1考点2考点3(1)证明:因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.\n-36-考点1考点2考点3\n-37-考点1考点2考点3\n-38-考点1考点2考点3考向三利用空间向量求二面角的大小例5(2021全国Ⅰ,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.思考如何利用向量法求二面角?\n-39-考点1考点2考点3解:(1)如图,连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴PD⊥AM.∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,∴∠ADB+∠DAM=90°.又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,\n-40-考点1考点2考点3(2)如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.\n-41-考点1考点2考点3设平面BMP的法向量为n=(x2,y2,z2),同理可得n=(0,1,1)为平面BMP的一个法向量.\n-42-考点1考点2考点3考向四利用空间向量求点到平面的距离例6如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2,求点A到平面MBC的距离.思考如何利用向量法求点到平面的距离?\n-43-考点1考点2考点3解：如图,取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点,直线OC,BO,OM分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,设平面MBC的法向量为n=(x,y,z),\n-44-考点1考点2考点3\n-45-考点1考点2考点32.利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.\n-46-考点1考点2考点33.利用向量法求二面角的方法:(1)分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小;(2)通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.\n-47-考点1考点2考点34.利用向量法求点到平面的距离的方法:\n-48-考点1考点2考点3对点训练3(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:①△PCD的面积;②异面直线BC与AE所成的角的大小.\n-49-考点1考点2考点3\n-50-考点1考点2考点3\n-51-考点1考点2考点3\n-52-考点1考点2考点3(2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.①求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;②求二面角B-A1D-A的正弦值.\n-53-考点1考点2考点3(2)解:在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.\n-54-考点1考点2考点3\n-55-考点1考点2考点3(3)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.①求证:M为PB的中点;②求二面角B-PD-A的大小;③求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.\n-56-考点1考点2考点3①证明:设AC,BD交点为E,连接ME.因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.②解:取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD.\n-57-考点1考点2考点3如图,建立空间直角坐标系O-xyz,\n-58-考点1考点2考点3\n-59-考点1考点2考点3(4)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,D,E,F分别为AC,AA1,AB的中点.①求证:B1C1∥平面DEF;②求EF与AC1所成角的大小;③求点B1到平面DEF的距离.\n-60-考点1考点2考点3①证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC.∵D,F分别是AC,AB的中点,∴FD∥BC,∴B1C1∥FD.又B1C1⊄平面DEF,DF⊂平面DEF,∴B1C1∥平面DEF.②解：建立如图所示的空间直角坐标系,则点C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).\n-61-考点1考点2考点3③解：设向量n=(x,y,z)是平面DEF的一个法向量,
