第07节立体几何中的向量方法A基础巩固训练1.直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为( )A．－2 B．－C．D．±【答案】D2．【河南省豫南九校第三次联考】已知直线的方向向量，平面的法向量，若，，则直线与平面的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线在平面内或直线与平面平行【答案】D【解析】因为，即，所以直线在平面内或直线与平面平行，故选D．3.【2022届河北定州中学高三周练】已知点A（1，-2,0）和向量=(-3,4,12),若向量,且，则B点的坐标为（）A．（-5,6,24）B．（-5,6,24）或（7，-10，-24）C．（-5,16，-24）D．（-5,16，-24）或（7，-16,24）【答案】B【解析】试题分析：设，，依题意有，解得或.4.如空间直角坐标系中，已知，则直线AB与AC的夹角为-16-\n__________．【答案】【解析】空间直角坐标系中，，，，，所以向量的夹角为，即直线与的夹角为，故答案为.5．已知向量a=（2，-1，1），b=(λ,1,-1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.【答案】λ<1且λ≠-2B能力提升训练1.在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高（）A．1B．2C．13D．26【答案】B【解析】设面的一个法向量为．则,令,则,则,,．故B正确．2.已知平面α，β的法向量分别为μ＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1，4)，则( )A．α∥βB．α⊥β-16-\nC．α、β相交但不垂直D．以上都不正确【答案】C3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是( )．A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】D【解析】∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D.∴AC⊥BE，故A正确．∵B1D1∥平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，∴EF∥平面ABCD，故B正确．C中，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．故C正确．建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，-16-\n①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，E(1,0,1)，F（，，1），∴＝(0，－1,1)，＝（，－，1），∴·＝.又||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴此时异面直线AE与BF成30°角．②当点E为D1B1的中点，F在B1处，此时E（，，1），F(0,1,1)，∴＝（－，－，1），＝(0,0,1)，∴·＝1，||＝，∴cos〈，〉＝＝，故选D.4.【2022届南宁市高三毕业班摸底】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60°.（1）求证：直线AM∥平面PNC；（2）求二面角D-PC-N的余弦值-16-\n【答案】(1)证明见解析；(2)57979.试题解析：（1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF//DC，MF=23DC，AN//DC，AN=23AB=23DC.∴MF//AN，MF=AN.∴MFNA为平行四边形.即AM//NF.又AM⊂平面PNC，∴直线AM//平面PNC.（2）取AB中点E，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°.∵ABCD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE.又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD.-16-\n又DE∩PD=D，∴直线CD⊥平面PDE.故DP,DE,DC相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系.则P0,0,3，N332,12,0，C0,3,0，A332,-32,0，B332,32,0，D0,0,0.易知平面PDC的法向量m=1,0,0，设面PNC的法向量nx1,y1,z1，由n⋅PC=0n⋅NC=0，得n=5,33,33.∴cosm,n=m⋅nmn=579=57979.故二面角D-PC-N的余弦值为57979.5.【2022届云南省昆明一中高三第一次摸底】如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.-16-\n（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，，点，分别为，的中点，可得为试题解析：（1）证明：连接，，点，分别为，的中点，所以为△的一条中位线，，平面，平面，所以平面.-16-\n（2）设，则，，，由，得，解得，由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.可得，，，，故，，，，设为平面的一个法向量，则，得，同理可得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，，，所以，二面角的余弦值为.C思维扩展训练1.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面-16-\n所成的角为，为锐角，且侧面⊥底面，给出下列四个结论：①；②；③直线与平面所成的角为；④.其中正确的结论是（）A.①③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】C.∴②错误；③：由题意得即为与平面所成的角，，∴，∴③正确；④：由②，，，∴，∴，∴④正确.-16-\n2.【2022浙江省嘉兴一中第一次联考】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是__________，若D1E⊥EC，则AE=__________．【答案】90∘1则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，m，0），0≤m≤2，则D1E=（1，m，﹣1），A1D=（﹣1，0，﹣1），∴D1E•A1D=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵D1E=（1，m，﹣1），EC=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，-16-\n∴D1E∙EC=﹣1+m（2﹣m）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为：900，1．3.正的边长为4，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角.（Ⅰ）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.【答案】(1)AB∥平面DEF；（2），（3）在线段上存在点，使．平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即，-16-\n，∴二面角E—DF—C的余弦值为；----8分（Ⅲ）设又，把，∴在线段上存在点，使．----12分4.【新课标1】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.-16-\n【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.……6分-16-\n5．【天津六校联考】如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．(1)求证：；(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；(3)求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；(3).-16-\n【解析】(3)设平面的法向量为．由得，即，取，则，，得．-16-\n，所以，与平面所成角的正弦值的大小为-16-
