第05节直线、平面垂直的判定与性质班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1．【2022届浙江省杭州市高三4月】设，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则.则（）A.①②都是假命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①②都是真命题【答案】B2．【2022届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知平面与两条不重合的直线，则“，且”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则必有，但时，直线与平面可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A．3．【2022届浙江省宁波市高三上学期期末】如图，在正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,AD的中点，将△ABF沿BF所在直线进行翻折，将△CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折过程中（）-17-\nA.点A与点C在某一位置可能重合B.点A与点C的最大距离为3ABC.直线AB与直线CD可能垂直D.直线AF与直线CE可能垂直【答案】D4．【2022届浙江省宁波市高三上学期期末】已知m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若m⊥α，m⊥β，则α⊥βB.若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC.若m//α，m//β，则α//βD.m⊥α若，n//α，则m⊥n【答案】D【解析】A不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；B不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；C平行于同一条直线的两个平面平行或相交；D正确.5．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则-17-\n【答案】B6.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.7.【温州市高三第一次适应性测试】m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是()A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若m∥α，∥β，则α∥βC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m∥α，m⊥β，则α⊥β【答案】D【解析】A.若则或;A错.B.若则或-17-\nB错；C.若则或或C错;D.存在直线，使,,又，故选D.8.【浙江省“六市六校”联盟高考模拟考试】空间中，设表示直线，，表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】B【解析】若，，则或，故A错；若，，则和的位置关系不确定，故C错；若，，则或，故D错，选B．9.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是()A.若则 B.若则C.若则 D.若，则【答案】C10.下列四个命题中，正确命题的个数是()个①若平面平面，直线平面，则；②若平面平面，且平面平面，则；③平面平面，且，点，，若直线，则；④直线为异面直线，且平面，平面，若，则.A.B.C.D.-17-\n【答案】B【解析】A答案：如果加入条件，则；B答案：例如墙角的三个面，则；C答案：如果加入条件，则；D答案：从向量角度看，与分别是的法向量，显然，即.所以只有D正确.11.【2022届浙江省温州市二模】已知空间两不同直线m、n，两不同平面α，β，下列命题正确的是（）A.若m∥α且n∥α，则m∥nB.若m⊥β且m⊥n，则n∥βC.若m⊥α且m∥β，则α⊥βD.若m不垂直于α，且n⊂α，则m不垂直于n【答案】C12.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】由正方体的性质得，BD//B1D1，所以，BD//平面CB1D1，故①正确．由正方体的性质得AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故②正确．由正方体的性质得BD//B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，故AC1垂直于平面CB1D1内的两条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1-17-\n，故③正确．异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，在等腰直角三角形BCD中，∠CBD=45°，故④正确．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上.）13.【2022届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为__________．【答案】4π34π3；【解析】如图：AB=2,AD=1,CD=1，∴AC=2,BC=2∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：4π3×13=4π3．14.【2022届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中，，，，点分别在边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面平面，其中点为点翻折后对应的点，则当四棱锥的体积取得最大值时，的长为__________.【答案】-17-\n当时，单调递增；当时，单调递减；故当时，取得最大值.15.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．【答案】①②③-17-\n16.【2022届湖北省武汉市武昌区高三1月调研】在矩形ABCD中，AB<BC，现将ΔABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】②【解析】如下图，若AC⊥BD，已知CF⊥BD，那么BD⊥平面ACF，则BD⊥AF，这与BD⊥AE矛盾，点E,F不会重合，所以①不正确；若AB⊥CD，已知中CD⊥BC，则CD⊥平面ABC，点A在平面BCD内的射影落在线段BC上，并且AC=AD2-DC2，所以存在某个位置使AB⊥CD；所以②成立；若AD⊥BC，已知BC⊥CD，所以BC⊥平面ACD，即BC⊥AC，那AB>BC，这与已知矛盾，所以③不正确.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）-17-\n17.（本题满分10分）【2022届河南省中原名校高三第三次质量考评】如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点． （1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析试题解析：（1）∵，，是的中点，∴，且，∴为平行四边形，∴，∴平面．（2）∵且为平行四边形，∴，，由已知可得底面，∴，∴平面，∴，-17-\n∵和分别是和的中点，∴，∴，∴平面，∴平面平面．18．（本题满分12分）【2022届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）过点C作与面A1BD平行的截面；（2）求证：AC1⊥面A1BD（3）若正方体的棱长为2，求四面体A1BC1D的体积。【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）83.试题解析：(1)见下图(2)证明：正方体ABCD-A1B1C1D1，CC1⊥面ABCD∴CC1⊥BD-17-\n又有AC⊥BD,∴BD⊥面ACC1A1,∵AC1⊂面ACC1A1，∴BD⊥AC1同理AC1⊥A1B,而BD∩A1B=B,∴AC1⊥面A1BD。(3)法一（直接计算）由（2）知AC1⊥面A1BD，设垂足为O,由等积法知AO=233,∴C1O=433∴VA1BC1D=13SΔA1BD·C1O=13⋅34⋅222⋅433=83法二：（间接计算）用正方体体积减去四个角落的体积19.（本题满分12分）如图所示，在三棱柱中，平面ABC，AB⊥AC.（1）求证：；（2）若P是棱的中点，求平面PAB将三棱柱分成的两部分体积之比.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先证平面⊥平面，再由面面垂直的性质定理得平面，进而得；（2）将棱台还原为棱锥，可求得，进而可得两部分体积比.-17-\n（2）设平面PAB与棱交于点Q.因为P为棱的中点，所以Q为棱的中点，连接AQ，PQ.设三棱柱的底面积为S，高为h，体积为V，则Sh=V。如图将棱台还原为棱锥，可求得.所以.所以.20.（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，分别是棱的中点，点在棱上，已知.-17-\n（1）求证：平面；（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2).因为平面,平面，所以平面…………………………6分（2）解：当时，平面平面.…………………………7分因为，故…………………………8分在直三棱柱中，平面,平面,故平面平面.又平面平面,平面，平面,故.又故.…………………………10分易证与相交，故平面.又平面，故平面平面.…………………………12分21.（本题满分12分）【2022届河南省郑州市第一中学高三上学期第二次月考】在四棱锥-17-\n中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），的延长线与的延长线交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：在线段上可以分别找到两点，，使得直线平面，并分别求出此时的值．【答案】(1)见解析；(2)证明见解析，，.试题解析：（1）证明：因为平面，平面，所以.因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以.（2）如图所示，取线段的中点，连接，-17-\n作，垂足为，连接，则此时满足直线平面.由（1）得，平面，又平面，所以因为平面，所以又因为是等腰三角形，所以.又因为，所以平面.又因为，，所以平面.易知，下面求解：因为，，所以可设，则，.在等腰直角三角形中，由勾股定理，得.因为平面，又平面，所以的平面图如图所示：-17-\n在中，由勾股定理，得，所以.在中，由，得所以.综上，在线段上可以分别找到两点，，使得直线平面，并且此时，22.（本题满分12分）【四川卷】在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。（Ⅰ）若，证明：直线平面；（Ⅱ）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。【答案】（1）证明见解析；（2）存在一点（线段的中点），使直线平面．.-17-\n（Ⅱ）取线段的中点，连接，，，，设为，的交点．由已知，为的中点．连接，，则，分别为，的中位线，所以，，因此，．连接，从而四边形为平行四边形，则．因为直线平面，平面．所以直线平面．即线段上存在一点（线段的中点），使直线平面．-17-
