专题8.4直线、平面平行垂直的判定及其性质【基础巩固】一、填空题1.(2022·南京调研)对于直线l,m,平面α,m⊂α,则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个).【答案】必要不充分【解析】若m⊂α,l⊥m,则直线l与平面α垂直、相交、平行或直线l在平面α内都有可能,充分性不成立;若m⊂α,l⊥α,则l⊥m,必要性成立,所以“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件.2.(2022·深圳四校联考)若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,给出下列命题:①过点P垂直于平面α的直线平行于平面β;②过点P垂直于直线l的直线在平面α内;③过点P垂直于平面β的直线在平面α内;④过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β.其中假命题为________(填序号).【答案】②3.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.【答案】4【解析】∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.4.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P-ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,有下列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________.【答案】①②【解析】如图,7\n∵P-ABC为正三棱锥,∴PB⊥AC;又∵DE∥AC,DE⊂平面PDE,AC⊄平面PDE,∴AC∥平面PDE.故①②正确.5.(2022·苏北四市联考)已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,l⊥α,m⊂β.给出下列命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β;④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________(填序号).【答案】①④6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)【解析】由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.7.(2022·徐州检测)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是________(填序号).7\n【答案】①②③【解析】由题意知,BD⊥平面ADC,且AC⊂平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.8.(2022·全国Ⅱ卷改编)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________(填序号).【答案】②③④二、解答题9.(2022·苏州调研)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.(1)证明 由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.又G为AD的中点,所以CG⊥AD.同理BG⊥AD,又BG∩CG=G,因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.(2)7\n10.(2022·盐城模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AB,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:平面PDE⊥平面PEC.证明 (1)如图1,取PD的中点G,连接AG,FG.因为F,G分别是PC,PD的中点,所以GF∥DC,且GF=DC.又E是AB的中点,所以AE∥DC,且AE=DC,所以GF∥AE,且GF=AE,所以四边形AEFG是平行四边形,故EF∥AG.又AG⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.图17\n图2【能力提升】11.(2022·苏、锡、常、镇四市调研)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面:①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.上述命题中为真命题的是________(填序号).【答案】③【解析】①中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;②中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;③中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正确;④中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误.12.(2022·南京师大模拟)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O,给出下列结论:7\n①O是△AEF的垂心;②O是△AEF的内心;③O是△AEF的外心;④O是△AEF的重心.其中结论正确的是________(填序号).【答案】①【解析】由题意可知PA,PE,PF两两垂直,所以PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,因为PO∩PA=P,所以EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,∴O为△AEF的垂心.13.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.其中正确的有________(填序号).【答案】①④14.(2022·四川卷)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.7\n(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由.(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.7