第10节函数的综合问题与实际应用【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测函数的简单应用能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.2022•浙江理10；2022•浙江文20；理18；2022•浙江文12，20；理18；2022•浙江17.1.会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；2.函数的综合应用.3.备考重点（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型.（2）函数的综合应用.【知识清单】1.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).对点练习某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( )A.2022年B.2022年C.2022年D.2022年【答案】B元-17-\n2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax对点练习下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【答案】A【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.【考点深度剖析】高考对函数应用的考查，常与二次函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．【重点难点突破】考点1一次函数与分段函数模型【1-1】【2022湖北模拟】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )-17-\n【答案】C因此排除B.【1-2】甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车快.若每人离开甲地的距离与所用时间的函数用图象表示，则甲、乙两人的图象分别是()A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】显然甲图象为(1)或(3)，乙图象为(2)或(4).又因为甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中随的变化比乙后一半路程随的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4).选B.【1-3】【2022·上海宝山区模拟】王-17-\n先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130，应最少打多少秒长途电话才合算？( )A．300B．400C．500D．600【答案】B【领悟技法】1．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．【触类旁通】【变式一】物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )ABCD【答案】B【解析】由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B。【变式二】-17-\n某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分．现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶(即超过30元则只需交30元)，网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时．（Ⅰ）将该网民某月内在家上网的费用y(元)表示为时间t(小时)的函数；（Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？【答案】所以上网时间超过60小时则在家上网便宜．考点2二次函数模型【2-1】【2022河北石家庄质检】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【答案】B【解析】根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.【2-2】某汽车销售公司在、两地销售同一中品牌的车，在地的销售利润（位：万元）为，在地的销售利润（单位：万元）为，其中为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（）A．B.万元C.万元D.万元【答案】C-17-\n【2-3】为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为．【答案】546.6【解析】依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．【领悟技法】有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．【触类旁通】【变式一】(【2022福建模拟】某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A．4B．5.5C．8.5D．10【答案】C【解析】由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2-17-\n＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.【变式二】某厂有容量300吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已知:该厂生活用水每小时10吨,工业用水总量(吨)与时间(单位:小时,规定早晨六点时)的函数关系为,水塔的进水量有10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在供应同时打开进水管.问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水溢出?【答案】4级.所以对一切恒成立.因为,,所以,即.即进水选择4级.考点3指数函数模型【3-1】【2022·德阳一诊】将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有L，则m的值为( )A.5B.8C.9D.10【答案】A【解析】∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，-17-\n【3-2】某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是（）A.B.C.－1D.－1【答案】D【解析】设该厂一月份产量为，这一年中月平均增长率为.则，解得.故选D.【3-3】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.（Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（Ⅲ）今后最多还能砍伐多少年？【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）已砍伐了5年．（Ⅲ）15.【解析】（Ⅰ）设每年降低的百分比为x(0<x<1)．则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得.（Ⅱ）设经过年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即，＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．-17-\n（Ⅲ）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.故今后最多还能砍伐15年．【领悟技法】1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．4．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．1．在解答本题时有两点容易造成失分：忽视实际问题对变量x的限制即定义域．将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确．2．解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．【触类旁通】【变式一】(2022·安徽名校联考)如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t＞0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是( )ABCD【答案】C【解析】-17-\n，故其图象为C.【变式二】衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为：，若新丸经过50天后，体积变为；若一个新丸体积变为，则需经过的天数为A．75天B．100天C．125天D．150天【答案】A.【解析】由题意，得，解得；令，即，即需经过的天数为75天.考点4对数函数模型【4-1】光线透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线的强度减少到原来的，则至少要（）快这样的玻璃().A．8B.9C.10D.11【答案】D【4-2】某种放射性元素的原子数随时间变化规律是，其中、为正的常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间为.-17-\n【答案】【解析】因为，所以，两边取以为底的对数，所以.【4-3】我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位，其中表示燕子的耗氧量.则当燕子静止时的耗氧量时单位和当一只燕子的耗氧量是个单位时的飞行速度分别是（）A．10个15B.10个8C.15个15D.50个15【答案】A【解析】由题意知，当燕子静止时，它的速度，代入，即，解得个单位.所以.【领悟技法】解答函数应用题的一般步骤：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．【触类旁通】【变式一】2022年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(≈0.3010，≈0.4771，≈0.8451)【答案】2037则，即.-17-\n【变式二】某公司为了实现2022年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝lnx＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．(参考数据：，，)【答案】奖励模型y＝lnx＋1能完全符合公司的要求．当x∈[10,1000]时，y≤ln1000＋1.下面证明ln1000＋1<5.∵ln1000＋1－5＝ln1000－4＝(ln1000－8)＝(ln1000－ln2981)<0，满足②.再证明lnx＋1≤x·25%，即2lnx＋4－x≤0.设F(x)＝2lnx＋4－x，则F′(x)＝－1＝<0，x∈[10,1000]，∴F(x)在[10,1000]上为减函数，F(x)max＝F(10)＝2ln10＋4－10＝2ln10－6＝2(ln10－3)<0，满足③.综上，奖励模型y＝lnx＋1能完全符合公司的要求．考点5函数的综合应用【5-1】【2022浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】已知是定义在R上的函数，若方程有且仅有一个实数根，则的解析式可能是()A.B.C.D.【答案】D-17-\n【解析】若，则，由于，，因此有4个解，排除A；显然，因此，即若，则方程无实根，排除B；若，显然，因此时，显然无解，而当时，由于．因此，即方程无解，因此可排除C，这样只有D符合题意，故选D．【5-2】【2022浙江温州中学3月模拟】已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)=g(x)x．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（Ⅰ）{a=1b=0;（Ⅱ）(-∞ ,0]．（Ⅱ）由已知可得f(x)=x+1x-2，所以f(2x)-kx≥0可化为2x+12x-2≥k⋅2x，化为1+（12x）2-2⋅12x≥k，令t=12x，则k≤t2-2t+1，因x∈[-1,1]，故t∈[12,2]，记h(t)=t2-2t+1，因为t∈[12,2]，故h(t)min=0，所以k的取值范围是(-∞ ,0]．【领悟技法】-17-\n1.函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.2.求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.【触类旁通】【变式一】【2022浙江台州上期末】已知函数f(x)=|x+1x-ax-b|(a,b∈R),当x∈[12,2]时，设f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为__________．【答案】14【变式二】【2022天津，文8】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】-17-\n【易错试题常警惕】易错典例：如图所示，在矩形中，已知，（，在、、、上分别截取、、、都等于，当为何值时，四边形的面积最大？求出这个最大面积.易错分析：忽略了实际问题中自变量的取值范围，，由于，所以当时，-17-\n自变量不能取到，面积不能取得最大值.若，即时，函数在上是增函数，因此，当时面积取得最大值.综上所述，若，当时面积取得最大值；若，当时面积取得最大值.温馨提醒：解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.利用函数处理方程解的问题，方法如下：(1)方程f(x)＝a在区间I上有解⇔a∈{y|y＝f(x)，x∈I}⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．-17-\n【典例】【2022陕西师范附属二模】直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是_______.【答案】点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，其中分段函数的分段点是含有参数的，考查两个函数图像的交点，这是数形结合的数学思想，还考查了动态函数的观点.由于分段函数的分段点是含有参数的，所以需要将两个部分函数图像先行画出，并且画出的图像，然后平移，查看交点的个数，由此判断的取值范围.-17-
