第05节数列的综合应用【考纲解读】考 点考纲内容五年统计分析预测与数列有关的综合问题1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用.2．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3．会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.2022浙江6,22；2022浙江文8;理6,20；2022浙江理20；2022浙江文19；理19.1.高频考向:根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不等式2.低频考向:数列与函数相结合.3.特别关注:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法；（3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题.【知识清单】一、等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(5)为等比数列，且，那么数列(，且(1)定义法(2)中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列-18-\n)为等差数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2)(3)等比数列依次每项和()，即，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.对点练习：【2022年届广西桂林市柳州市高三模拟金卷】已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则.【答案】.二．数列求和1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.数列前项和①重要公式：（1）（2）-18-\n（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.对点练习：【2022届浙江台州中学高三10月月考】在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（1）求与；（2）证明：．【答案】（1），；（2）详见解析.试题解析：（1）设的公差为，∵，∴，解得或（舍），，故，；（2）∵，∴，故，-18-\n∵，∴，∴，∴，即.【考点深度剖析】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.【重点难点突破】考点1等差数列和等比数列的综合问题【1-1】【2022·杭州调研】已知数列{an}，{bn}中，a1＝1，bn＝·，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn.(1)若an＝2n－1，求Sn；(2)是否存在等比数列{an}，使bn＋2＝Sn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；(3)若{an}是单调递增数列，求证：Sn<2.【答案】(1)－.(2)满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一个是an＝1，另一个是an＝(－1)n－1.(3)证明见解析.(2)解 满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an＝1和an＝(－1)n－1.证明：在bn＋2＝Sn中，令n＝1，得b3＝b1.-18-\n设an＝qn－1，则bn＝.由b3＝b1得＝.若q＝±1，则bn＝0，满足题设条件.此时an＝1和an＝(－1)n－1.若q≠±1，则＝，即q2＝1，矛盾.综上所述，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一个是an＝1，另一个是an＝(－1)n－1.(3)证明 因为1＝a1<a2<…<an<…，故an>0，0<<1，于是0<<1.bn＝·＝·＝·<2.故Sn＝b1＋b2＋…＋bn<2＋2＋…＋2＝2＝2<2.所以Sn<2.【1-2】已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝－logan，求数列的前n项和Tn.【答案】（1）an＝；（2）．-18-\n(2)∵an＝，∴bn＝－log＝2n，从而＝＝，∴Tn＝＝＝.【领悟技法】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.5.[易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．应用错位相减法求和时需注意：①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.【触类旁通】【变式一】【2022·东北三省四校模拟】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3-18-\n＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1)an＝2n＋1.(2)Tn＝n×3n.(2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，两式相减得，－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，∴Tn＝n×3n.【变式二】在数列{an}中，a1＝2，a2＝12，a3＝54，数列{an＋1－3an}是等比数列．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.【答案】(1)证明：见解析．(2)×3n＋.【解析】(1)证明：∵a1＝2，a2＝12，a3＝54，∴a2－3a1＝6，a3－3a2＝18.又∵数列{an＋1－3an}是等比数列，∴an＋1－3an＝6×3n－1＝2×3n，∴－＝2，∴数列是等差数列．(2)由(1)知数列是等差数列，-18-\n∴＝＋(n－1)×2＝2n，∴an＝2n×3n－1.∵Sn＝2×1×30＋2×2×31＋…＋2n×3n－1，∴3Sn＝2×1×3＋2×2×32＋…＋2n×3n.∴Sn－3Sn＝2×1×30＋2×1×3＋…＋2×1×3n－1－2n×3n＝2×－2n×3n＝3n－1－2n×3n，∴Sn＝×3n＋.考点2数列的综合应用【2-1】【安徽省六安市第一中学2022届高三上学期第二次月考】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（）A.2022年B.2022年C.2022年D.2022年【答案】C【2-2】已知，已知数列满足，且，则()A．有最大值6030B.有最小值6030C.有最大值6027D.有最小值6027【答案】A【解析】，当时，=6030对于函数,,在处的切线方程为即，则成立，所以时，有.-18-\n【2-3】【2022届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】数列中，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）记数列的前项和为，求证：．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.，一个一个地变形最后可得，从而证得题中不等式．也可利用裂项方法，由已知递推式得，这样也可求得和式，完成不等式的证明.试题解析：证：（1）因为=，且，所以，所以所以，，.（2）-18-\n，所以.（Ⅱ）证法2：，.，，，所以.【2-4】【2022届浙江省台州市高三4月一模】已知数列{an}满足：an>0,an+1+1an<2(n∈N*).（1）求证：an+2<an+1<2(n∈N*)；（2）求证：an>1(n∈N*).【答案】(1)见解析;(2)见解析.-18-\n所以an+1<2-1an<2，因为2>an+2+1an+1≥2an+2an+1，所以an+2<an+1<2.（2）假设存在aN≤1(N≥1,N∈N*)，由（1）可得当n>N时，an≤aN+1<1，根据an+1-1<1-1an=an-1an<0，而an<1，所以1an+1-1>anan-1=1+1an-1.于是1aN+2-1>1+1aN+1-1，……1aN+n-1>1+1aN+n-1-1.累加可得1aN+n-1>n-1+1aN+1-1（*）由（1）可得aN+n-1<0，而当n>-1aN+1-1+1时，显然有n-1+1aN+1-1>0，因此有1aN+n-1<n-1+1aN+1-1，这显然与（*）矛盾，所以an>1(n∈N*).【领悟技法】1.数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围．以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明.-18-\n解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法.2.数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．3.处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．4.解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．5.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．，解决此类问题时要注意把握以下两点：(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；(2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．【触类旁通】【变式一】【2022届浙江省杭州市高三4月二模】已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有.（1）若，，求的最大值；（2）若对任意，都有，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析-18-\n，便可求出的最大值；（2）首先假设，根据已知条件得，于是通过证明对于固定的值，存在，由此得出与矛盾，所以得到，再设，则根据可得，接下来通过放缩，可以得到，于是可以得出要证的结论.试题解析：（1）由题意知，设，则，且，，所以，.（2）若存在，使得，则由，得，因此，从项开始，数列严格递增，故，对于固定的，当足够大时，必有，与题设矛盾，所以不可能递增，即只能.令，，由，得，，故，-18-\n，所以，综上，对一切，都有.【变式二】【2022届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】已知数列中，满足记为前n项和．（I）证明：；（Ⅱ）证明：（Ⅲ）证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．试题解析：证明：（I）因故只需要证明即可……………………………………………………3分下用数学归纳法证明：当时，成立假设时，成立，-18-\n那么当时，，所以综上所述，对任意，…………………………………………6分（Ⅱ）用数学归纳法证明当时，成立假设时，那么当时，所以综上所述，对任意，…………………………10分（Ⅲ）得…12分故……15分【易错试题常警惕】易错典例：【2022高考浙江理数】设数列满足，．（I）证明：，；（II）若，，证明：，．易错分析：一是不能正确理解题意，二是在证明过程中不能正确第进行不等式的放缩.-18-\n试题解析：（I）由得，故，，所以，因此．（II）任取，由（I）知，对于任意，，故．从而对于任意，均有．由的任意性得．①-18-\n否则，存在，有，取正整数且，则，与①式矛盾．综上，对于任意，均有．温馨提醒：（I）先利用三角形不等式及变形得，再用累加法可得，进而可证；（II）由（I）的结论及已知条件可得，再利用的任意性可证．【学科素养提升之思想方法篇】----数列求和与比较大小数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.【典例】数列{an}是公比为的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；(2)比较＋＋＋…＋与Sn的大小．【答案】-18-\n设{bn}的公差为d，又即解得或(舍)，∴λ＝.(2)由(1)知Sn＝1－n，∴Sn＝－n＋1≥，①又Tn＝4n2＋4n，＝＝，∴＋＋…＋＝＝<，②由①②可知＋＋…＋<Sn.-18-
