第2讲 “计数原理与概率”模块第1课时 计数原理(建议用时：45分钟)一、选择题1．(1－3x)5的展开式中x3的系数为( )．A．－270B．－90C．90D．270解析 (1－3x)5的展开式通项为Tr＋1＝C(－3)rxr(0≤r≤5，r∈N)，当r＝3时，该项为T4＝C(－3)3x3＝－270x3，故可得x3的系数为－270.答案 A2．(2022·湖南卷)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a＝( )．A.B．－C．6D．－6解析 5的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx，令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.答案 D3．(2022·丽水模拟)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )．A．140种B．120种C．35种D．34种解析 从7人中选4人共有C＝35种方法，又4名全是男生的选法有C＝1种．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案 D4．(2022·四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比405\n000大的偶数共有( )．A．144个B．120个C．96个D．72个解析 由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故40000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.答案 B5．(2022·杭州模拟)如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有( )．A．11种B．20种C．21种D．12种解析 当第一组开关有一个接通时，电路接通为C(C＋C＋C)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C(C＋C＋C)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式，故选C.答案 C6．(2022·金华调研)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5的值为( )．A．122B．123C．243D．244解析 在已知等式中分别取x＝0、x＝1与x＝－1，得a0＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，因此有2(a1＋a3＋a5)＝35＋1＝244，a1＋a3＋a5＝122，a0＋a1＋a3＋a5＝123，故选B.答案 B7．(2022·四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )．A．192种B．216种C．240种D．288种解析 根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类：甲在左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．5\n答案 B8．设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a的值为( )．A．0B．1C．11D．12解析 化51为52－1，用二项式定理展开求解．512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C522012＋C522011×(－1)1＋…＋C×52×(－1)2011＋C×(－1)2012＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.答案 D9．(2022·金华质检)在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )．A．32B．－32C．0D．1解析 依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于5＝0，选C.答案 C10．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )．A．504种B．960种C．1008种D．1108种解析 由题意得不同的安排方案共有A(A－2A＋A)＝1008(种)．答案 C二、填空题11．(2022·北京卷)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答)．解析 展开式通项为：Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.答案 4012．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有________项．5\n解析 Tr＋1＝C(x)24－r(x)r＝Cx(0≤r≤24)∴r可取值为0,6,12,18,24，∴符合要求的项共有5项．答案 513．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数为________．解析 分两步：第一步先选3个人即C＝＝35.第二步3个人相互调整座位，有2种方法．∴35×2＝70.答案 7014．(2022·天津卷)在6的展开式中，x2的系数为________．解析 6的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－rr＝Crx6－2r；当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C2＝.答案 15．(2022·温州适应性测试)将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有不同放法________种．解析 对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A＝6种；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A＝6种；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A＝6种．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18种．答案 1816．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x2)＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.解析 法一 将f(x)＝x5进行转化，利用二项式定理求解．f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.法二 不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.答案 1017．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．5\n解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A种分法，∴不同的分法种类共有4A＝96.答案 9618．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴全运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析 先将6位志愿者分组，共有种方法；再把各组分到不同场馆，共有A种方法．由乘法原理知，不同的分配方案共有·A＝1080(种)．答案 10805
