专题六自选模块第1讲 “复数与导数”模块第1课时 复数(建议用时：40分钟)一、选择题1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D.答案 D2．(2022·湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )．A．iB．－iC．1D．－1解析 法一 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i.故选A.法二 i607＝＝＝＝－i，其共轭复数为i.故选A.答案 A3．设复数z＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z的虚部为( )．A．－2B．2C．－2iD．2i解析 z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2.答案 B4．(2022·山东卷)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )．A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i解析 ∵＝i，∴＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.答案 A5．(2022·新课标全国Ⅱ卷)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )．4\nA．－1B．0C．1D．2解析 因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.答案 B6.2014＝( )．A．－iB．iC．－1D．1解析 2014＝2014＝2014＝(－i)2104＝i2014＝i4×503＋2＝－1.答案 C7．(2022·四川卷)设i是虚数单位，则复数i3－＝( )．A．－iB．－3iC．iD．3i解析 i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.选C.答案 C8．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是( )．A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i解析 法一 x＝＝－3±2i.法二 令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0，∴解得a＝－3，b＝±2，即x＝－3±2i.答案 A二、填空题9．设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．解析 ∵z＝(2－i)2＝3－4i，∴|z|＝＝5.答案 54\n10.4＝________.解析 4＝2＝1.答案 111．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则m＝________.解析 由题意知解得m＝－2.答案 －212．(2022·重庆卷)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.解析 由|a＋bi|＝得＝，即a2＋b2＝3，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.答案 3三、解答题13．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解 (z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.14．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限．解 (1)若z为实数，则解得m＝－2.(2)若z为虚数，则解得m≠－2且m≠－3.(3)若z为纯虚数，则解得m＝3.(4)若z对应的点在第二象限，则即∴m＜－3或－2＜m＜3.15.如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：4\n(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数．解 (1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.(2)＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)＝＋＝＋，∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.4
