第3讲 平面向量(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )．A.B.C.D.解析 ＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝.答案 A2．(2022·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )．A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥解析 由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(＋)·(－)＝0，即(＋)·＝0，∴(4a＋b)⊥，故选D.答案 D3．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )．A.B．2C．5D．10解析 因为·＝0，所以⊥.所以四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝5.7\n答案 C4．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于( )．A．5B．4C．3D．1解析 向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|·cos120°＝－|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.答案 B5．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为( )．A．30°B．60°C．120°D．150°解析 因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3.所以|c|＝.又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.答案 D6．(2022·舟山一模)△ABC中D为BC边的中点，已知＝a，＝b，则在下列向量中与同向的向量是( )．A.＋B.－C.D．|b|a＋|a|b解析 ∵＝(＋)＝(a＋b)，∴向量与向量是同向向量．答案 C7．(2022·福建卷)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC7\n所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )．A．13B．15C．19D．21解析 建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.答案 A二、填空题8．(2022·江苏卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析 ∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.答案 －39．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析 a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝.∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴＝.7\n答案 10．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析 由题意知：·＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝2－·－2＝4－0－2＝2.答案 211．(2022·山东卷)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．解析 已知A＝，由题意得||·||cos＝tan，||||＝，所以△ABC的面积S＝||·||sin＝××＝.答案 12．(2022·湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．解析 设出点D的坐标，求出点D的轨迹后求解．设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．又＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.答案 ＋1三、解答题13．(2022·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值．7\n(2)若m与n的夹角为，求x的值．解 (1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，即sinx－cosx＝，所以sin＝，因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈.(1)用θ表示点B的坐标及|OA|；(2)若tanθ＝－，求O·O的值．解 (1)由题意，可得点B的坐标为(2cosθ，2sinθ)．在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO7\n＝，∠B＝π－－θ＝－θ.由正弦定理，得＝，即|OA|＝2sin.(2)由(1)，得O·O＝|O||O|cosθ＝4sincosθ.因为tanθ＝－，θ∈，所以sinθ＝，cosθ＝－.又sin＝sincosθ－cossinθ＝×－×＝，故O·O＝4××＝－.15．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求O·O＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值．解 (1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cosθ，sinθ)，因为四边形OAQP是平行四边形，所以O＝O＋O＝(1,0)＋(cosθ，sinθ)＝(1＋cosθ，sinθ)．所以O·O＝1＋cosθ.又平行四边形OAQP的面积为S＝|O|·|O|sinθ＝sinθ，7\n所以O·O＋S＝1＋cosθ＋sinθ＝sin＋1.又0<θ<π，所以当θ＝时，O·O＋S的最大值为＋1.(2)由题意，知C＝(2,1)，O＝(cosθ，sinθ)，因为CB∥OP，所以cosθ＝2sinθ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.所以sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝.7
