对数与对数函数时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．假设函数y＝f(x)的图象与函数y＝log2－1的图象关于直线y＝x对称，那么f(x－1)＝( )A．4x B．4x＋1C．2xD．2x＋1图1解析：函数y＝log2－1的反函数为y＝f(x)＝4x＋1，那么f(x－1)＝4x，应选A.答案：A2．(2022·深圳调研)假设函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图1，其中a，b为常数，那么函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )由题意得0<a<1,0<b<1，那么函数g(x)＝ax＋b的大致图象是D.答案：D3．(2022·北京高考)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：由y＝lg得y＝lg(x＋3)－1，由y＝lgx图象向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移一个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象．应选C.答案：C4．(2022·全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，那么( )A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈，c＝log3＝log32∈，故有a>b>c.答案：A5．(2022·湖南高考)假设log2a<0，()b>1，那么( )A．a>1，b>0B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<04/4\n解析：由log2a<0⇒0<a<1，由b>1⇒b<0，应选D.答案：D6．函数f(x)＝loga(x2－ax＋2)在区间(1，＋∞)上恒为正值，那么实数a的取值范围为( )A．(1,2)B．(1,2]C．(0,1)∪(1,2)D．(1，)解析：当a>1时，x2－ax＋2>1，即x2－ax＋1>0在x∈(1，＋∞)上恒成立∴1－a＋1≥0∴a≤2.∴1<a≤2；当0<a<1时，0<x2－ax＋2≤1，即x2－ax＋2>0且x2－ax＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，无解．综上，1<a≤2，应选B.答案：B二、填空题(每题5分，共20分)7．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是__________．解析：log3(x2－10)＝log33x，∴，解得x＝5或x＝－2(舍去)．答案：x＝58．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，那么不等式loga(x－1)>0的解集为__________．解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立．y＝x2－2x＋3开口向上有最小值．∴a>1，∴loga(x－1)>loga1，等价于，∴x>2.∴不等式的解集{x|x>2}．答案：{x|x>2}9．已知x满足2x≤256，且log2x≥，那么函数f(x)＝log2·log的最大值和最小值分别为________、__________.解析：∵2x≤256，且log2x≥，∴≤x≤8，∴≤log2x≤3，∴f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝(log2x－)2－，∵≤log2x≤3，而<<3，∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)取得最小值为－；当log2x＝3，即x＝8时，f(x)取得最大值为2.答案：2 －10．(2022·南昌调研)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称，记g(x)＝f(4/4\nx)[f(x)＋f(2)－1]．假设y＝g(x)在区间[，2]上是增函数，那么实数a的取值范围为________．解析：g(x)变形化归为二次函数在区间上的单调性讨论求解．由已知条件切入，g(x)＝logax(logax＋loga2－1)＝(logax)2＋(loga2－1)logax.①当0<a<1时，y＝u＝logax为减函数，那么g(u)＝u2＋(loga2－1)u在[loga2，loga]上也为减函数，于是有－≥loga⇒0<a≤.②当a>1时，y＝u＝logax为增函数，那么g(u)＝u2＋(loga2－1)u在[loga，loga2]上也为增函数，于是有－≤loga⇒a∈Ø，由①②得a∈(0，]．答案：(0，]三、解答题(共50分)11．(15分)设P：关于x的不等式2|x|<a的解集为Ø，Q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．解：P：∵2|x|≥1，且不等式2|x|<a的解集为Ø，∴a≤1.Q：ax2－x＋a>0恒成立．①假设a＝0，那么－x>0(不符合题意，舍去)；②假设a≠0，那么⇒a>.∵P和Q有且仅有一个正确，∴P真Q假或者P假Q真．假设P真Q假，那么a≤；假设P假Q真，那么a>1.综上可得，所求a的取值范围为(－∞，]∪(1，＋∞)．12．(15分)已知函数f(x)＝3x＋k(k为常数)，A(－2k,2)是函数y＝f－1(x)图象上的点．(1)求实数k的值及函数f－1(x)的解析式；(2)将y＝f－1(x)的图象按向量a＝(3,0)平移，得到函数y＝g(x)的图象，假设2f－1(x＋－3)－g(x)≥1恒成立，试求实数m的取值范围．解：(1)∵A(－2k,2)是函数y＝f－1(x)图象上的点，∴B(2，－2k)是函数y＝f(x)上的点．∴－2k＝32＋k，∴k＝－3，∴f(x)＝3x－3.∴y＝f－1(x)＝log3(x＋3)(x>－3)．(2)将y＝f－1(x)的图象按向量a＝(3,0)平移，得到函数y＝g(x)＝log3x(x>0)，要使2f－1(x＋－3)－g(x)≥1恒成立，即使2log3(x＋)－log3x≥1恒成立．∴有x＋＋2≥3在x>0时恒成立，只要(x＋＋2)min≥3.又x＋≥2(当且仅当x＝，即x＝时等号成立)，∴(x＋＋2)min＝4，4/4\n即4≥3.∵m≥.∴实数m的取值范围为[，＋∞)．13．(20分)(2022·衡水模拟)已知集合P＝[，2]，函数y＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.(1)假设P∩Q≠Ø，求实数a的取值范围；(2)假设方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[，2]内有解，求实数a的取值范围．解：(1)假设P∩Q≠Ø，那么在x∈[，2]内，至少有一个值x使得ax2－2x＋2>0成立，即在x∈[，2]内，至少有一个值x使得a>＋成立．设μ＝－＋＝－2(－)2＋，当x∈[，2]时，μ∈[－4，]．∴a>－4.所以实数a的取值范围是{a|a>－4}．(2)方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[，2]内有解，那么ax2－2x－2＝0在[，2]内有解．即在x∈[，2]内有值x使得a＝＋成立，μ＝＋＝2(＋)2－.当x∈[，2]时，μ∈[，12]，∴a∈[，12]．所以实数a的取值范围为a∈[，12]．4/4
