等差数列时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．(2022·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，那么公差d等于( )A．1 B.C．2D．3解析：∵S3＝＝6，而a3＝4，∴a1＝0，∴d＝＝2.答案：C2．假设等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，那么a7等于( )A．12B．13C．14D．15解析：25＝S5＝×5，∴a4＝7.∴2d＝a4－a2＝4.∴a7＝a4＋3d＝13.答案：B3．设{an}是等差数列，假设a2＝3，a7＝13，那么数列{an}前8项的和为( )A．128B．80C．64D．56解析：∵{an}是等差数列，∴a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5＝a1＋a8.∴S8＝a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4(a2＋a7)＝4×16＝64.答案：C4．(2022·唐山二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，假设S7>S8>S6，那么以下结论：①a7＝0②a8<0③S13>0④S14<0其中正确结论是( )A．②③B．①③C．①④D．②④解析：∵S7>S8>S6，∴a7>0，a7＋a8>0∴S14＝＝7(a7＋a8)>0，∴①④错误，应选A.答案：A5．(2022·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，那么使得Sn到达最大值的n是( )A．21B．20C．19D．18解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，4/4\nd＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是递减数列．an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤，∴当n≤20时，an>0，∴n＝20时，Sn最大，应选B.答案：B6．设{an}是公差为正数的等差数列，假设a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，那么a11＋a12＋a13＝( )A．120B．105C．90D．75解析：设公差为d且d>0.由已知，得.解得a1＝2，d＝3(∵d>0)．∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105.答案：B二、填空题(每题5分，共20分)7．已知等差数列{an}共有2022项，所有项的和为2022，所有偶数项的和为2，那么a1004＝__________.解析：依题意得＝2022，a1＋a2022＝，＝2，a2＋a2022＝，故a2－a1＝－＝d，又a2＋a2022＝2a1005＝，∴a1005＝，a1004＝a1005－d＝＋＝2.答案：28．(2022·全国卷Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.假设a5＝5a3，那么＝__________.解析：＝＝·＝×5＝9.答案：99．(2022·山东高考)已知f(3x)＝4xlog23＋233，那么f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于__________．解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233，∴f(3x)＝4log23x＋233.∴f(x)＝4log2x＋233.而f(2n)＝4log22n＋233＝4n＋233，∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝(4×1＋233)＋(4×2＋233)＋…＋(4×8＋233)＝4×(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2022.答案：202210．把49个数排成如以以下图所示的数表，假设表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列，4/4\n每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a44＝1，那么表中所有数的和为__________．a11a12…a17a21a22…a27…………a71a72…a77解析：解法1：a11＋a12＋…＋a17＝7a14，同理a21＋a22＋…＋a27＝7a24，…a71＋a72＋…＋a77＝7a74，而a14＋a24＋…＋a74＝7a44，故所有数的和为7(a14＋a24＋…＋a74)＝49a44＝49.解法2：由题意分析，不妨设各个格中的数都为1，那么符合题意要求，所以表中所有数的之和为49.答案：49三、解答题(共50分)11．(15分)已知{an}是等差数列，a2＝5，a5＝14，(1)求{an}的通项公式；(2)当{an}的前n项和Sn＝155，求n的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.那么a1＋d＝5，a1＋4d＝14，解得a1＝2，d＝3.所以数列{an}的通项为an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.(2)数列{an}的前n项和Sn＝＝n2＋n.由n2＋n＝155，化简得3n2＋n－310＝0.即(3n＋31)(n－10)＝0；所以n＝10.12．(15分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝，证明数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)证明：an＋1＝2an＋2n，＝＋1，bn＋1＝bn＋1，又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知＝n，即an＝n·2n－1，Sn＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.两式相减，得Sn＝n·2n－20－21－…－2n－1＝n·2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1.13．(20分)(2022·福建厦门一模)已知数列{an}，a1＝1，an＝λan－1＋λ－2(n≥2)．(1)当λ为何值时，数列{an}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)假设λ＝3，令bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2；a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2.4/4\n∵a1＋a3＝2a2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)．∴2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝.当λ＝时，a2＝2×－2＝1，a1＝a2不合题意，舍去；当λ＝1时，代入an＝λan－1＋λ－2，可得an－an－1＝－1.∴数列{an}构成以a1＝1为首项，公差为－1的等差数列．∴an＝－n＋2.(2)由λ＝3可得，an＝3an－1＋3－2，即an＝3an－1＋1.∴an＋＝3an－1＋.∴an＋＝3(an－1＋)，即bn＝3bn－1(n≥2)．又b1＝a1＋＝，∴数列{bn}构成以b1＝为首项，公比为3的等比数列．∴Sn＝＝(3n－1)．4/4
