等比数列时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．设{an}是公比为正数的等比数列，假设a1＝1，a5＝16，那么数列{an}前7项的和为( )A．63B．64C．127D．128解析：∵公比q4＝＝16，且q>0，∴q＝2，∴S7＝＝127，应选C.答案：C2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，那么＝( )A．2B．4C.D.解析：此题主要考察等比数列的通项公式及前n项和的公式．设等比数列{an}的首项为a1，那么S4＝15a1，a2＝2a1，＝，应选C.答案：C3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，那么a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)解析：∵q3＝＝，∴q＝，a1＝4，数列{an·an＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，不难得出答案为C.答案：C4．(2022·辽宁高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设＝3，那么等于( )A．2B.C.D．3解析：设其公比为q.由已知可得＝＝＝1＋q3＝3，∴q3＝2.＝＝＝.另解：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，4/4\n那么可设S6＝3，S3＝1，那么(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，解得S9＝7，故＝.答案：B5．(2022·广东高考)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，那么当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：由{an}为等比数列，那么a5·a2n－5＝a1·a2n－1＝22n，那么(a1·a3·a5·…·a2n－1)2＝(22n)n⇒a1·a3·…·a2n－1＝2n2，故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝n2.答案：C6．已知等比数列{an}中a2＝1，那么其前3项的和S3的取值范围是( )A．(－∞，－1]B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：∵{an}是等比数列，a2＝1，S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a3＋1.当q>0时，a1、a3>0，a1＋a3≥2＝2＝2，∴S3≥3.当q<0时，a1、a3<0，a1＋a3＝－[(－a1)＋(－a3)]≤－2＝－2，∴S3≤－1.综上可知，S3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．应选D.答案：D二、填空题(每题5分，共20分)7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，那么{an}的公比为________．解析：由题意知4S2＝S1＋3S3.①当q＝1时，4×2a1＝a1＋3×3a1，即8a1＝10a1，a1＝0，不符合题意，所以q≠1.②当q≠1时，应有4×＝a1＋3×，化简得3q2－q＝0，得q＝或0(舍去)．答案：8．(2022·浙江高考)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，那么＝________.解析：由S4＝，a4＝a1·q3，那么＝＝15.答案：159．设数列{an}为公比q>1的等比数列，假设a2022和a2022是方程4x2－8x＋3＝0的两根，那么a2022＋2022＝__________.解析：解方程4x2－8x＋3＝0，得x＝或.4/4\n又q>1，∴a2022＝，a2022＝.∴q＝＝3.∴a2022＋a2022＝(a2022＋a2022)·q2＝2×32＝18.答案：1810．(2022·浙江猜题卷)等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出以下结论：①0<q<1；②a99·a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是__________．解析：①中⇒⇒q＝∈(0,1)，∴①正确．②中⇒a99·a101<1，∴②正确．③中⇒T100<T99，∴③错误．④中T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1，T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·a100＝a<1，∴④正确．答案：①②④三、解答题(共50分)11．(15分)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝4，a4a5a6＝212.(1)求首项a1和公比q的值；(2)假设Sn＝210－1，求n的值．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，那么由题设有a4a5a6＝a＝212⇒a5＝24＝16，∴＝q2＝4⇒q＝2，代入a3＝a1q2＝4，解得a1＝1.(2)由Sn＝210－1，得Sn＝＝2n－1＝210－1，∴2n＝210，∴n＝10.12．(15分)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，m≠－3，且m≠0.(1)求证：{an}是等比数列；(2)假设数列{an}的公比满足q＝f(m)且b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{}为等差数列，并求bn.解：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)．∴＝(m≠－3)．从而可以知道，数列{an}是等比数列．(2)当n＝1时，(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝＝1，∴b1＝a1＝1，又q＝f(m)＝，∴bn＝f(bn－1)＝·(n∈N*且n≥2)．得bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒－＝.∴{}是以1为首项，为公差的等差数列．4/4\n∴＝1＋＝，故bn＝.13．(20分)(2022·潮州模拟)已知数列{an}、{bn}分别是等差数列、等比数列，a3＝8，a6＝17，b1＝2，b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)．(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝log3bn，求证：数列{cn}是等差数列，并求出其公差和首项；(3)设Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，其中n＝1,2，…，求Un的值．解：(1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a3＝8，a6＝17得a1＋2d＝8①a1＋5d＝17②由①②解得a1＝2，d＝3，由b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)，得8q3＝9×24，解得q＝3.所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝2·3n－1.(2)cn＝log3bn＝log32·3n－1＝log32＋(n－1)，cn＋1－cn＝(log32＋n)－(log32＋n－1)＝1，∴数列{cn}是首项为log32，公差为1的等差数列．(3)由等比数列的性质知数列{b3n－2}是首项为2，公比为27的等比数列，所以Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2＝＝(27n－1)．4/4
