高考填空题分项练8 圆锥曲线1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．答案 4解析 2x2－y2＝8可变形为－＝1，则a2＝4，a＝2,2a＝4.故实轴长为4.2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(1，2)在C的渐近线上，则C的方程为__________．答案 －＝1解析 由题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，且c＝5.因为点P(1,2)在C的渐近线上，所以b＝2a，所以a2＝5，b2＝20.所以C的方程为－＝1.3．(2022·全国大联考江苏卷)过双曲线C：－＝1(b>0)的左焦点F1作直线l与双曲线C的左支交于M，N两点．当l⊥x轴时，MN＝3，则右焦点F2到双曲线C的渐近线的距离是________．答案 解析 由题意，设双曲线C的左焦点为F1(－c,0)(c>0)，则c2＝b2＋4.当l⊥x轴时，将直线l的方程x＝－c代入双曲线方程，7\n化简得y2＝，即y＝±，再由MN＝b2＝3，可得c＝，从而右焦点F2(，0)到双曲线C的渐近线x±2y＝0的距离d＝＝.4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．答案 解析 不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则有即①÷②得e＝.5．已知椭圆＋＝1内有两点A(1,3)，B(3,0)，P为椭圆上一点，则PA＋PB的最大值为________．答案 15解析 由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B′，由椭圆的定义可知PB＝2a－PB′＝10－PB′，则PA＋PB＝10＋(PA－PB′)，则(PA－PB′)max＝AB′＝＝5，据此可得PA＋PB的最大值为10＋5＝15.6．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则该椭圆的方程为________．答案 ＋＝1或＋＝1解析 由题意知解得所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.7．(2022·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，设直线l:x＋y＋1＝0与双曲线C:－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．答案 (1，)7\n解析 易知双曲线C:－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，联立得x＝－，联立得x＝，由题意，得<0，即a>b，则a>c，即1<<，即双曲线C的离心率e的取值范围是(1，)．8.如图，A1，A2为椭圆＋＝1长轴的左、右顶点，O为坐标原点，若S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形，则OS2＋OT2＝________.答案 14解析 设Q(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，则＋＝1，y＝(9－x)．易知直线OS，OT的斜率均存在且不为0，设其方程分别为y＝k1x，y＝k2x，因为OS∥QA2，OT∥QA1，所以kQA2＝k1，kQA1＝k2，k1k2＝·＝＝－.由得x＝，y＝，同理x＝，y＝.由两点间的距离公式，得OS2＋OT2＝x＋y＋x＋y＝＝14.9．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为椭圆C上位于第一象限内的一点，∠PF1F2的平分线与∠PF2F1的平分线相交于点I，直线PI与x轴相交于点Q，则＋＝______.答案 27\n解析 由题意知，a＝2，c＝＝1.由角平分线的性质，得＝＝，利用合比定理及椭圆的定义，得＝＝＝2，所以＝＝.则＋＝＋＝1＋＋＝1＋＋＝2.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.若椭圆C的中心到直线AB的距离为F1F2，则椭圆C的离心率e＝______.答案 解析 设椭圆C的焦距为2c(c<a)，由于直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，所以＝c.因为b2＝a2－c2，所以3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍)，所以e＝.11．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆O，若过点所作圆O的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．答案 解析 如图，设A，7\n∵AB⊥AC，∴∠BAO＝45°，∵∠OBA＝90°，∴△OBA是等腰直角三角形．由OA＝OB，得＝a，∴e＝.12.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，PF1与x轴垂直且与椭圆交于点P(如图所示)，若直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且四边形OAQB的面积为，则椭圆C的方程为________．答案 ＋＝1解析 设F1(－c,0)，F2(c,0)，由离心率为，得所求椭圆的方程为＋＝1，即x2＋2y2＝2c2，故P，得直线PF2的方程为y＝(x－c)．由得或即点Q的坐标为.连结OQ，因为A(c,0)，B(0，c)，所以S四边形OAQB＝S△OAQ＋S△OQB＝×c×c＋×c×c＝c2，由c2＝，得c＝2，故所求椭圆的方程为＋＝1.7\n13．已知M，N为双曲线－y2＝1上关于坐标原点O对称的点，P为双曲线上异于M，N的点，若直线PM的斜率的取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是________．答案 解析 设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(m，n)(m≠±x0，n≠±y0)，则kPM＝，kPN＝.因为P，M，N均在双曲线－y2＝1上，所以－n2＝1，－y＝1，相减得－(n－y0)(n＋y0)＝0，·＝，即kPM·kPN＝，又≤kPM≤2，即≤≤2，解得≤kPN≤.14.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上且焦距为2，A1，A2为左，右顶点，左准线l与x轴的交点为M，MA2∶A1F1＝6∶1，若点P在直线l上运动，且离心率e<，则tan∠F1PF2的最大值为________．答案 解析 由焦距为2，得c＝1，左准线l与x轴的交点为M，MA2∶A1F1＝6∶1，则6(a－c)＝a＋，代入c＝1，解得a＝2或3.由于离心率e<，则a>2c＝2，则a＝3.则l：x＝－9，设P(－9，y)，则MF1＝8，MF2＝10，7\n则tan∠F1PF2＝tan(∠F2PM－∠F1PM)＝＝＝≤＝，当且仅当|y|＝，即y＝±4时，tan∠F1PF2取得最大值.7
