专题018月开学检测（全部高考内容）一、填空题1．若全集U=｛0，1，2，3，4｝，集合A=｛0，1，3｝，B=｛0，2，3，4｝，则CU(A∩B)=___▲_____．【答案】1,2,4【解析】∵A=0,1,3,B=0,2,3,4,∴A∩B=0,3，∵全集U=0,1,2,3,4,∴∁UA∩B=1,2,4，故答案为1,2,4.2．已知函数（）的图像如图所示，则的值是▲．【答案】【解析】因3．“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直”的条件．【答案】充分不必要4．下图是一个算法流程图，则输出的的值是▲．【答案】14\n【解析】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，结束循环，输出5．若复数满足（为虚数单位），则▲.【答案】【解析】由题意得6．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有辆．8090100110120130车速（km/h）0.0050.0100.0200.0300.035【答案】1700【解析】7．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是▲．【答案】14\n8．将函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则当取最小的值时，___▲_______．【答案】-1【解析】，若函数的图象关于轴对称，则或.∴，∴，又∵，∴，此时.9．若直线与圆始终有公共点，则实数的取值范围是▲．【答案】【解析】因为，所以由题意得：10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，．若＝－3，则＝▲．ABCDM（第11题图）【答案】【解析】因为，所以11．设Sn是数列的前n项和，且a1=-1，an+1Sn+1=Sn，则a100=_____▲_____．【答案】1990012．在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则14\n的取值范围是▲.【答案】【解析】由得，因此即，因为为锐角三角形，所以从而,,由于,因此.13．已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为_____▲_____．【答案】【解析】由题知，，准线的方程是.设，由，消去，得.因为直线经过焦点，所以.由抛物线上的点的几何特征知，因为直线的倾斜角是，所以，所以四边形的周长是，故答案为.14.若实数满足，则的最小值为_____▲_____．【答案】14\n，解得，可得切点，切点到直线的距离.的最小值为，故答案为.三、解答题15．（本小题满分14分）在锐角三角形中，角的对边为，已知，，（1）求；（2）若，求【答案】（1）2；（2）．【解析】（2）在锐角三角形中，由，得，，……9分所以，…………………11分由正弦定理，得.………………14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；14\n（2）平面平面.OPABCDE【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明:(1)连接BD与AC相交于点O，连结OE．………2分因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．………4分因为PB平面EAC，OEÌ平面EAC，所以直线PB∥平面EAC．……………………6分(2)因为PA⊥平面PDC，CDÌ平面PDC，所以PA⊥CD．…………………8分因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．…………………………………10分因为PA∩AD＝A，PA，ADÌ平面PAD，所以CD⊥平面PAD．…………12分因为CDÌ平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．…………………14分17．（本小题满分15分）已知函数fx=2ex-2e-x+ax+bsinxa,b∈R.(1)当b=0时，fx为R上的增函数，求a的最小值；(2)若a>-1，2<b<3，fax-1+fx-a<0，求x的取值范围.【答案】（1）-4；（2）-∞,1．【解析】(2)f'x=2ex+2e-x+a+bcosx，∵a>-1，∴2ex+2e-x+a≥4+a>3，∵2<b<3，bcosx∈-b,b，∴-3<bcosx<3，∴f'x=2ex+2e-x+a+bcosx>0，14\n∴fx为R上的增函数，又f-x=-fx，∴fx为奇函数，由fax-1+fx-a<0得fax-1<-fx-a=fa-x，∵fx为R上的增函数，∴ax-1<a-x，∴a+1x<a+1，∵a>-1，∴a+1>0，∴x<1.故x的取值范围为-∞,1.…………………15分18．（本小题满分15分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形（），如图1所示，其中；方案②多边形为等腰梯形（），如图2所示，其中．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【答案】方案①，②苗圃的最大面积分别为，建苗圃时用方案②，且．【解析】（当且仅当时，“=”成立）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分方案②设，则． ．．．．．．．．．．．．．．．．8分由得，（舍去）．．．．．．．．．．10分14\n因为，所以，列表：+0-极大值所以当时，． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分因为，所以建苗圃时用方案②，且．答：方案①，②苗圃的最大面积分别为，建苗圃时用方案②，且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分19．（本小题满分16分）椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上下左右四个顶点分别为A，B，C，D，x轴正半轴上的某点P满足PA=PD=2，PC=4.（1）求椭圆的标准方程以及点P的坐标；（2）过点C作倾斜角为锐角的直线l1交椭圆于点Q，过点P作直线l2交椭圆于点M，N，且l1∥l2，是否存在这样的直线l1，l2使得ΔCDQ，ΔMNA，ΔMND的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】（1）椭圆标准方程为x29+y23=1，P点坐标为1,0；（2）k=3．【解析】（2）设直线的斜率为kk>0，Qx0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，则l1：y=kx+3，l2：y=kx-1ΔMNA、ΔMND的面积相等，则点A，D到直线l2的距离相等.所以-3-kk2+1=3k-kk2+1，解之得k=3或k=-33（舍）.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分14\n当k=3时，直线l2的方程可化为：x=y3+1，代入椭圆方程并整理得：5y2+3y-12=0，所以y1+y2=-35,y1y2=-125．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以y1-y2=y1+y22-4y1y2=935；所以ΔMND的面积为12PD⋅y1-y2=12×2×935=935.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分所以SΔCDQ=SΔMND，满足题意.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分．20．（本小题满分16分）已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，其中常数．设﹒（1）若，求数列的通项公式；（2）若且，设，证明数列是等比数列；（3）若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】∵，，∴当时，，从而，，﹒又在中，令，可得，满足上式，14\n所以，﹒…………2分（1）当时，，，从而，即，又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以．…………4分（2）当且且时，，…………7分又，所以是首项为，公比为的等比数列，﹒…………8分当时，．若时，，，，，不符合，舍去．…………11分若时，，，，，且．所以只须即可，显然成立．故符合条件；…………12分若时，，满足条件．故符合条件；…………13分若时，，，从而，，因为．故，要使成立，只须即可．14\n于是．…………15分综上所述，所求实数的范围是．…………16分21.【选做题】在A、B、C、D四个小题中只能选做2题，如果多做，则按作答的前两题评分，每小题10分，共20分.A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，是半圆周上的两个三等分点，直径，垂足为与相交于点，求的长。【答案】B.选修4-2：矩阵与变换【题文】已知矩阵，(1)若，求的值；（2）若且，求矩阵.14\n【答案】（1）；（2）．【解析】(1).………………4分(2)，设，则，………………6分所以由得，故.………………10分考点：特征多项式特征向量及矩阵的运算【结束】C．选修4-4：坐标系与参数方程【题文】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】【解析】,………………6分当时，即，取得最大值，最大值为.…………10分14\nD.选修4-5：不等式选讲已知，求的最小值.【答案】【解析】由柯西不等式，…………6分∴.……………………8分当且仅当，即时取等号.∴的最小值为．………………10分22.（本小题满分10分）已知甲乙两个盒内均装有大小相同、颜色不同的球若干，甲有1个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）若取出的4个球均为黑球的概率为，求的值；（2）在(1)的条件下，设为取出的4个球中红球的个数，求得分布列和数学期望.【答案】（1）3；（2）期望为．【解析】(2)可能的取值为0,1,2,3.由（Ⅰ），（Ⅱ）得.从而.的分布列为012314\n……………………8分的数学期望.…………10分23.（本小题满分10分）数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：(其中无理数)【答案】见解析．【解析】，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由(1)知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.14
