专题018月开学检测（全部高考内容）测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷涵盖高考数学的重要考点，试题创新度较高，吻合高考命题趋势．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第11题考查等比数列基本量的计算、等比数列的性质、基本不等式等；第12题考查导数与函数极值、导数与函数的零点；注重数形结合能力的考查，如第1，5，9，10，12，13，15，16，20，21，22，23题等．讲评建议：评讲试卷时应注重对运算能力的要求（快、活、准），如第3，5，13，14等；转化与划归能力，如第8，12，24题等．试卷中第3，8，11，14，19，21各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|(x+3)(x-1)≤0}，N={x|log2x≤1}，则M∪N=（）A．[-3,2]B．[-3,2)C．[1,2]D．(0,2]【答案】A【解析】因为M={x|-3≤x≤1},N={x|0<x≤2}，则M∪N={x|-3≤x≤2}，故选A．2．已知i是虚数单位，则复数-1+i3+4i的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D3．已知角α的终边经过点P(2,-3),则cosα的值是（）A．32B．-32C．21313D．-21313【答案】C【解析】因为角α的终边经过点P(2,-3)，故|OP|=13，由三角函数的定义知cosα=213=21313，故选C．4．等差数列{an}中，a7=4, a8=1, 则a10=（）A．-5B．-2C．7D．10【答案】A【解析】∵a7=4, a8=1,∴公差d=1-4=-3,∴a10=a8+2d=1-6=-5.17\n本题选择A选项．5．设点是圆上的点，若点到直线的距离为，则这样的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C6．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于（）A．32B．16C．8D．4【答案】B17\n7．抛物线上有两点到焦点的距离之和为，则到轴的距离之和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，准线与轴的距离是，故到轴的距离之和为．【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义．对于圆锥曲线的定义，往往是解圆锥曲线小题的关键．如本题中的抛物线，由于抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而准线与轴的为，这样的话两个点到轴的距离就比到准线的距离少．熟记圆锥曲线的定义，还需要熟练画出图像，结合图像来解题也是很重要的方法．8．下列说法正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“，”的否定是“”C．命题“若，则”的逆命题为真命题D．命题“若，则或”为真命题【答案】D【解析】选项A：，所以“”是其必要不充分条件；选项B：命题“”的否定是“”；选项C：命题“若，则”的逆命题是“若，则”，当c=0时，不成立；选项D：其逆否命题为“若且，则”为真命题，故原命题为真，故选D．17\n9．若实数满足，则的最大值是()A．B．C．D．【答案】C【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题，解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义；先根据条件画出可行域，，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到最大值即可．10．函数f(x)=x2ln|x|2|x|的图象大致是（）17\nA．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的解析式f-x=x2lnx2x=fx，是偶函数，当x=±1，函数值为0，当x∈(0,1)∪(-1,0)时，fx<0，则排除B、C；当x→0时，函数值y→0，故排除A，本题选择D选项．11．正项等比数列｛an｝中，存在两项am，an（m，n）使得aman=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B12．函数在上存在两个极值点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D17\n第II卷（非选择题）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，满足，，则向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．14．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______17\n【答案】【解析】由题可知三棱锥的体积为．故本题应填．【名师点睛】本题主要考查几何体的三视图，空间想象能力及棱锥的表面积．空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面，左面，上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图．因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱，面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．要能够牢记常见几何体的三视图．15．已知函数（，，）的部分图象如上图所示，则____．17\n【答案】16．设分别为椭圆（）与双曲线（）的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】由椭圆及双曲线定义得因为，所以因为，所以因为，所以，因此三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，求面积的最大值．【答案】（I），；（II）．17\n由余弦定理，，得，，当且仅当时，等号成立，∴，即面积的最大值为．【名师点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．有关三角函数图像与性质问题结合解三角形问题主要是根据所给三角函数的性质结合有关运算公式及正弦定理、余弦定理进行边角关系的分析计算解决有关问题，难度往往不大，多为中档题目．18．（本题满分12分）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；17\n（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】（I）见解析；（II）；（III）（Ⅲ）设，，∴，∴，又∵平面的法向量，∴，∴，∴或．17\n当时，，∴；当时，，∴．综上，．【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．19．（本小题满分12分）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6．60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7．80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,2]，(2,4]，…，(14,16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（图1）（图2）（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；17\n（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0．01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2022年1～6月份的月用水费y(元)与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是y=2x+33．若李某2022年1～7月份水费总支出为294．6元，试估计李某7月份的用水吨数．【答案】（I）（i）8110000；（ii）4.04吨；（II）13吨．（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：月用水量x（吨）(0,12](12,14](14,16]价格X(元/吨)44．204．60概率P0．90．060．04所以全市居民用水价格的期望E(X)=4×0.9+4.2×0.06+4.6×0.04≈4.04吨．（Ⅱ）设李某2022年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)，它们的平均值分别为x,y，则x1+x2+⋯+x6=21=6x，又点(x,y)在直线y∧=2x+33上，所以y=40，因此y1+y2+⋯y6=240，所以7月份的水费为294.6-240=54.6元．设居民月用水量为t吨，相应的水费为f(t)元，则f(t)={4t,0<t≤1248+(t-12)×6.6,12<t≤1461.2+(t-14)×7.8,14<t≤16，即：f(t)={4t,0<t≤126.6t-31.2,12<t≤147.8t-48,14<t≤16当t=13时，f(t)=6.6×13-31.2=54.6，所以李某7月份的用水吨数约为13吨．【名师点睛】一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”17\n，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20．（本小题满分12分）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(1,0)，椭圆Γ的左，右顶点分别为M,N．过点F的直线l与椭圆交于C,D两点，且ΔMCD的面积是ΔNCD的面积的3倍．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD与x轴垂直，A,B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】（I）x24+y23=1；（II）为定值12．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程：y=kx+m代入x24+y23=1中整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，所以x1+x2=-8km4k2+3，x1x2=4m2-124k2+3，Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=16(12k2-3m2+9)>0当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC=0，不妨设点C在x轴上方，C(1,32)，所以y1-32x1-1+y2-32x2-1=0，整理得2kx1x2+(m-32)(x1+x2)-2m+3=0，所以2k·4m2-124k2+3+(m-32)(-8km4k2+3)-2m+3=0，整理得12k2+12(m-2)k+9-6m=0，即(6k-3)(2k+2m-3)=0，所以2k+2m-3=0或6k-3=0．当2k+2m-3=0时，直线AB过定点C(1,32)，不合题意；当6k-3=0时，k=12，符合题意，所以直线AB的斜率是定值12．17\n21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=axex-(a-1)(x+1)2（其中a∈R,e为自然对数的底数，e=2.718128⋯）．（I）若f(x)仅有一个极值点，求a的取值范围；（II）证明：当0<a<12时，f(x)有两个零点x1,x2，且-3<x1+x2<-2．【答案】（I）[0,1]；(2)证明过程见解析．【解析】试题分析：(1)求出函数的导函数f'(x)，转化不等式，再通过a与0的大小讨论即可求a的取值范围；（II）通过a的范围及f(x)的零点个数，即可确定函数恒成立的条件，通过构造函数的方法，转化成利用导（II）由（I）当0<a<12时，x=-1为f(x)的极小值点，又∵f(-2)=-2ae2-(a-1)=(-2e2-1)a+1>0对于0<a<12恒成立，f(-1)=-ae<0对于0<a<12恒成立，f(0)=-(a-1)>0对于0<a<12恒成立，∴当-2<x<-1时，f(x)有一个零点x1，当-1<x<0时，f(x)有另一个零点x2，即-2<x1<-1,-1<x2<0，且f(x1)=ax1ex1-(a-1)(x1+1)2=0,f(x2)=ax2ex2-(a-1)(x2+1)2=0，（）所以-3<x1+x2<-1。下面再证明x1+x2<-2，即证x1<-2-x2，由-1<x2<0得-2<-2-x2<-1，由于x<-1,f(x)为减函数，于是只需证明f(x1)>f(-2-x2)，也就是证明f(-2-x2)<0，f(-2-x2)=a(-2-x2)e-2-x2-(a-1)(-x2-1)2=a(-2-x2)e-2-x2-(a-1)(x2+1)2，借助（）代换可得f(-2-x2)=a(-2-x2)e-2-x2-ax2ex2=a[(-2-x2)e-2-x2-x2ex2]，令g(x)=(-2-x)e-2-x-xex(-1<x<0)，则g'(x)=(x+1)(e-2-x-ex)，17\n∵h(x)=e-2-x-ex为(-1,0)的减函数，且h(-1)=0，∴g'(x)=(x+1)(e-2-x-ex)<0在(-1,0)恒成立，于是g(x)为(-1,0)的减函数，即g(x)<g(-1)=0，∴f(-2-x2)<0，这就证明了x1+x2<-2。综上所述，-3<x1+x2<-2．【名师点睛】本题主要考查函数的单调性和不等式的证明，考查了利用求导数研究函数的性质解题能力和分类讨论思想的应用，第一问借助函数为单调函数进行转化，第二问通过构造函数，分析函数的单调性，最终达到证明不等式成立的目的，因此正确构造函数是解决本题的关键．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，已知与交于、两点，点位于第一象限．（Ⅰ）求点和点的极坐标；（Ⅱ）设圆的圆心为，点是直线上的动点，且满足，若直线的参数方程为（为参数），则的值为多少？【答案】（I）（II）17\n则，，由，得，∴【名师点睛】极坐标与参数方程问题核心在参数的几何意义上，充分利用参数的几何意义来处理问题，同时注意参数方程与普通方程的互化的等价性．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（I）当时，解不等式；（II）若不等式对任意的实数都成立，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）17\n17
