专题5.4平面向量应用【考纲解读】内容要求备注A B C 平面向量平面向量的应用 √ 1．向量与平面几何．2．向量与三角函数．3．向量与解析几何．【知识清单】考点1向量与平面几何向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．考点2向量与三角函数与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．考点3向量与解析几何向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.【考点深度剖析】向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．【重点难点突破】6\n考点1向量与平面几何【1-1】已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________．【答案】9.【1-2】(2022·山东理)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为_______．【答案】【解析】根据平面向量数量积的概念得·＝||·||cosA，当A＝时，根据已知可得||·||＝，故△ABC的面积为||·||sin＝.【思想方法】平面几何问题的向量解法．(1)坐标法．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．6\n(2)基向量法．适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．考点2向量与三角函数【2-1】已知在锐角△ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos()取最大值时，B的大小．【答案】(1)60° (2)B＝60°，ymax＝2【2-2】(2022·河南中原名校联考)在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为对应的三条边，<C<，且＝.(1)判断△ABC的形状；(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．【答案】(1)等腰三角形 (2)(，1)6\n【思想方法】解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．考点3向量与解析几何【3-1】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最小值．【答案】(1)＋＝1 (2)12－4【解析】 (1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(＋)·(－)＝0，6\n【3-2】若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为_______．【答案】6．【解析】由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3(1－)．因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3(1－)＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2.因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6．【思想方法】6\n向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．【易错试题常警惕】1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系．3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．6
