专题5.4平面向量应用【基础巩固】一、填空题1．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.【答案】10【解析】因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.2．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是________三角形(填“等边”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”)．【答案】直角3．(2022·深圳调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则·＝________.【答案】－2【解析】由余弦定理得cosA＝＝＝－，所以·＝||·||cosA＝2×2×＝－2.4．(2022·扬州中学质检)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，则∠BAC等于________(用角度表示)．【答案】60°6\n【解析】取BC的中点D，连接AD，则＋＝2.由题意得3＝2，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.5．(2022·南京师大附中模拟)在平面内，若A(1,7)，B(5,1)，M(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，且·＝－8，则cos∠APB＝________.【答案】－6．(2022·苏北四市模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．【答案】4【解析】由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.7．(2022·苏州调研)已知m＝(cosα，sinα)，n＝(2,1)，α∈，若m·n＝1，则sin＝________.【答案】－【解析】因为m·n＝2cosα＋sinα＝1，所以sinα＝1－2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1中，整理得5cos2α－4cosα＝0，解得cosα＝或cosα＝0(舍去)，故sin＝－cos2α＝1－2cos2α＝－.8．(2022·南京、盐城模拟)在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，用＝2，AD＝，则AC的长为________．【答案】36\n【解析】由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，则||2＝2＝||2＋·||·||cosA＋||2，即＝＋×4||×＋||2，化简得||2－2||－3＝0，解得||＝3，即AC的长为3.二、解答题9．(2022·泰州模拟)在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，向量m＝(cosA，sinB)，n＝(cosB，sinA)．(1)若acosA＝bcosB，求证：m∥n；(2)若m⊥n，a>b，求tan的值．(1)证明 因为acosA＝bcosB，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以m∥n.(2)解 因为m⊥n，所以cosAcosB＋sinAsinB＝0，即cos(A－B)＝0，因为a>b，所以A>B，又A，B∈(0，π)，所以A－B∈(0，π)，则A－B＝，所以tan＝tan＝1.10．(2022·南通调研)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(A)的取值范围．6\n∴cosB＝，B＝.∴0＜A＜.∴＜＋＜，＜sin＜1.又∵f(x)＝m·n＝sin＋，∴f(A)＝sin＋，故1＜f(A)＜.故f(A)的取值范围是.【能力提升】11．(2022·南京调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴、y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|＋＋|的取值范围是________．【答案】[7,11]【解析】设A(x,0)，B(0，y)，则x2＋y2＝4.令x＝2cosθ，y＝2sinθ，则|＋＋|＝∈[7,11]，其中tanφ＝.12．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则向量在方向上的投影等于________．6\n【答案】13．(2022·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)＝(x>0)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则·＝________.【答案】－2【解析】由题意可得∠AMB＝135°.设M(x>0)，则||＝＝，所以·＝||·||cos135°＝·x·＝－2.14．(2022·苏州期中)如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C.(1)当C为圆弧的中点时，D为线段OA上任一点，求|＋|的最小值；(2)当C在圆弧上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求·的取值范围．6\n＝sin＋，因为0≤α≤，所以≤α＋≤，所以sin∈[－1,1]，则sin＋∈.所以·∈.6
