第04节应用向量方法解决简单的平面几何问题A基础巩固训练1.【2022江西新余、宜春联考】等差数列的前项和，且，则过点和的直线的一个方向向向量是（）A．B．C．D．【答案】D2.设点是线段的中点，点在直线外，，，则（）A.8B.4C.2D.1【答案】C【解析】，故选C.3.如图，是所在的平面内一点，且满足，是的三等分点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由于是所在的平面内一点，且满足，是的三等分点，则四边形为平行四边形，，.-10-\n4.在中，若,则是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A5.已知正方形ABCD的边长为2，＝2，＝(＋)，则·＝________.【答案】【解析】如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．则B(0,0)，E，D(2,2)．由＝(＋)知F为BC的中点，故＝，＝(－1，－2)，∴·＝－2－＝－.B能力提升训练1.如下图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i＝1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则·（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（）-10-\nA．7B．5C．3D．1【答案】C【解析】因为，，，，，，，所以其数量积共有三种不同的可能值，应选C.2.抛物线与直线相交于两点,点是抛物线上不同的一点,若直线分别与直线相交于点,为坐标原点,则的值是（）A．20B．16C．12D．与点位置有关的一个实数【答案】A-10-\n3.【2022四川资阳4月模拟】如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是-10-\nA.B.C.D.【答案】B【解析】解：以点为坐标原点，方向为轴，轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为，由意可知：，当直线过点时，目标函数取得最小值，则的取值范围是.本题选择B选项.-10-\n4.已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，则的面积为．【答案】.【解析】取BC的中点E，连接AE，根据△ABC是边长为4的正三角形∴AE⊥BC，∴△APD的面积为.-10-\n5.【2022高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是.【答案】【解析】因为,,因此，.C思维扩展训练1.的三个内角成等差数列,且，则的形状为（）A、钝角三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形【答案】B【解析】2.设是圆上不同的三个点，且，若存在实数，使得，则实数的关系为（）-10-\n（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】3.【2022浙江台州4月调研】已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a，且|b|=|b-c|.若对每一个确定的向理b，记|b-ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为（）A.43B.2C.4D.6【答案】B【解析】固定向量a=(3,0)，则b,c向量分别以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，OA=a,OB=b,OC=c，如图，易得点B的坐标B(rcosθ+3,rsinθ)，因为|b|=|b-c|，所以OB=BC⇒(rcosθ+3)2+r2sin2θ=4r2，整理为：r2-2rcosθ-3=0⇒cosθ=r2-32r，而|b-ta|(t∈R)的最小值为dmin，则dmin=rsinθ=-r4+10r2-94=4-(r2-5)24≤2，所以dmin的最大值是2，故选B.4.已知向量（1）当时，求的值；-10-\n（2）求在上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到的值，然后化简即可∵，∴，∴∴∴函数．5.【2022湖南长沙长郡】已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，直线与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，是坐标原点，且时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知：中线段的垂直平分线，所以-10-\n所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，故点的轨迹方程是.，，所以或为所求.-10-
