【创新设计】（江苏专用）2022高考数学二轮复习专题四立体几何提升训练理立体几何一、填空题1．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．解析 利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.答案 6π2.(2022·苏、锡、常、镇调研)如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA＝2，AB＝1，求三棱锥CPED的体积为________．解析 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥PCED的高，PA＝2.∵ABCD是正方形，E是AC的中点，∴△CED是等腰直角三角形．AB＝1，故CE＝ED＝，S△CED＝CE·ED＝··＝.故VCPED＝VPCED＝·S△CED·PA＝··2＝.答案 3．(2022·山东卷改编)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．解析 如图，由题意，得BC＝2，AD＝AB＝1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．6\n所求体积V＝π×12×2－π×12×1＝π.答案 4．(2022·苏、锡、常、镇调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析 由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④.答案 ②④5．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析 ∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝AC＝×2＝.答案 6．(2022·全国Ⅰ卷改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛(取整数)．6\n解析 由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积V＝×πR2·h＝(立方尺)．所以堆放的米大约为≈22(斛)．答案 227．(2022·南通模拟)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．给出以下说法：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m∥α，m⊥n，则n⊥α；则上述说法错误的是________(填序号)．解析 法一 若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，①错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，②正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，③错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，④错．法二 如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.①中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故①错．②中，m⊥α，n⊂α，满足m⊥n，这是线面垂直的性质，故②正确，③中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故③错．④中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故④错．答案 ①③④8.(2022·南师附中模拟)在正三棱锥PABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥平面PBC，则此棱锥中侧面积与底面积的比为________．6\n解析 如图，取BC的中点D，连接AD，PD，且PD与MN的交点为E，连接AE.因为AM＝AN，E为MN的中点，所以AE⊥MN，又截面AMN⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC，则AE⊥PD，又E点是PD的中点，所以PA＝AD.设正三棱锥PABC的底面边长为a，则侧棱长为a，斜高为a，则此棱锥中侧面积与底面积的比为＝.答案 二、解答题9.(2022·江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明 (1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.6\n又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.10．(2022·苏北四市调研)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明 (1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，且CD⊂平面PCD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.6\n11．(2022·常州监测)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点．(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；(3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥FABC的体积．(1)证明 如图连接A1C.∵直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形．∴点F在A1C上，且为A1C的中点．在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC.又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)证明 ∵直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC.又∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B1B⊥EF.∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1.∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB1A1.(3)解 VFABC＝VA1ABC＝××S△ABC×AA1＝××a2×2a＝.6
