星期一 (三角与立体几何问题) 2022年____月____日1．已知△ABC三个内角A，B，C对应三条边长分别是a，b，c，且满足csinA－acosC＝0.(1)求角C的大小；(2)若cosA＝，c＝，求sinB和b的值．解 (1)由csinA－acosC＝0，得sinCsinA－sinAcosC＝0，∵A为△ABC的内角∴sinA≠0，∴sinC－cosC＝0，即tanC＝，又C∈(0，π)所以C＝.(2)由cosA＝，得sinA＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得b＝＝＝3.2.如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；证明 (1)∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，面ABCD∩面ABEF＝AB，CB⊂面ABCD，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，2\n又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，又BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又∵AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF.(2)连接OM并延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，连接PO，则PO∥AC，又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，∴PO∥平面AFC，又∵PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，又∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.2
