专题对点练2 函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=3,这时a的取值的集合为( )A.{a|1<a≤2}B.{a|a≥2}C.{a|2≤a≤3}D.{2,3}2.若椭圆x24+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一交点为P,则|PF2|=( )A.32B.3C.72D.43.(2022甘肃兰州一模)若关于x的方程2sin2x+π6=m在0,π2上有两个不等实根,则m的取值范围是( )A.(1,3)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,3]4.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,其导函数为f'(x),且满足xf'(x)+2f(x)>0,则不等式(x+2016)f(x+2016)5<5f(5)x+2016的解集为( )A.{x|x>-2011}B.{x|x<-2011}C.{x|-2016<x<-2011}D.{x|-2011<x<0}5.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零,则x的取值范围是( )A.{x|1<x<3}B.{x|x<1或x>3}C.{x|1<x<2}D.{x|x<1或x>2}6.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=( )A.30B.25C.20D.157.若0<x1<x2<1,则( )A.ex2-ex1>lnx2-lnx1B.ex1-ex2<lnx2-lnx1C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1<x1ex28.已知在正四棱锥S-ABCD中,SA=23,则当该棱锥的体积最大时,它的高为( )A.1B.3C.2D.39.已知函数f(x)=x+xlnx,若k∈Z,且k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立,则k的最大值为( )A.2B.3C.4D.5二、填空题10.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是 . 11.若函数f(x)=-x+6,x≤2,3+logax,x>2(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是 . 12.已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)内单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是 . 13.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12x上,并且在x轴上截得的弦长为23,则圆M的标准方程为 . 14.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为 . 6\n15.我们把函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2,函数y1与函数y2的图象合起来组成函数y3的图象,若直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点,则满足条件的k的值为 . 三、解答题16.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D,E分别为AB和BB'上的点,且ADDB=BEEB'=λ.(1)求证:当λ=1时,A'B⊥CE;(2)当λ为何值时,三棱锥A'-CDE的体积最小,并求出最小体积.6\n专题对点练2答案1.B 解析依题意得y=a3x,当x∈[a,2a]时,y=a3x∈12a2,a2.由题意可知12a2,a2⊆[a,a2],即有12a2≥a,又a>1,所以a≥2.故选B.2.C 解析如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,则r1+r2=2a=4,r22-r12=(2c)2=12,即r1+r2=4,r2-r1=3,故r2=72.3.C 解析方程2sin2x+π6=m可化为sin2x+π6=m2,当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,画出函数y=f(x)=sin2x+π6在x∈0,π2上的图象如图所示:由题意,得12≤m2<1,则m的取值范围是[1,2),故选C.4.C 解析由xf'(x)+2f(x)>0,则当x∈(0,+∞)时,x2f'(x)+2xf(x)>0,即[x2f(x)]'=x2f'(x)+2xf(x),所以函数x2f(x)为单调递增函数,由(x+2016)f(x+2016)5<5f(5)x+2016,即(x+2016)2f(x+2016)<52f(5),所以0<x+2016<5,所以不等式的解集为{x|-2016<x<-2011},故选C.5.B 解析由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0,得a(x-2)+x2-4x+4>0.令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4,由a∈[-1,1]时,不等式f(x)>0恒成立,即g(a)>0在[-1,1]上恒成立.则g(-1)>0,g(1)>0,即-(x-2)+x2-4x+4>0,(x-2)+x2-4x+4>0.解得x<1或x>3.6.D 解析圆x2+y2-6x=0的圆心(3,0),焦点F(3,0),抛物线y2=12x,设M(x1,y1),N(x2,y2).直线l的方程为y=2x-6,联立y2=12x,y=2x-6,即x2-9x+9=0,∴x1+x2=9,∴|MN|=x1+x2+p=9+6=15,故选D.7.C 解析设f(x)=ex-lnx(0<x<1),则f'(x)=ex-1x=xex-1x.6\n令f'(x)=0,得xex-1=0.根据函数y=ex与y=1x的图象(图略)可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)内不是单调函数,故A选项不正确;同理可知B选项也不正确;设g(x)=exx(0<x<1),则g'(x)=ex(x-1)x2.又0<x<1,∴g'(x)<0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2).∴x2ex1>x1ex2.故C选项正确,D项不正确.8.C 解析设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a(a>0),则高h=SA2-2a22=12-a22,所以体积V=13a2h=1312a4-12a6.设y=12a4-12a6(a>0),则y'=48a3-3a5.令y'>0,得0<a<4;令y'<0,得a>4.故函数y在(0,4]上单调递增,在[4,+∞)内单调递减.可知当a=4时,y取得最大值,即体积V取得最大值,此时h=12-a22=2,故选C.9.B 解析由k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立,得k<xlnx+xx-1(x>1).令h(x)=xlnx+xx-1(x>1),则h'(x)=x-lnx-2(x-1)2.令g(x)=x-lnx-2=0,得x-2=lnx,画出函数y=x-2,y=lnx的图象如图,g(x)存在唯一的零点,又g(3)=1-ln3<0,g(4)=2-ln4=2(1-ln2)>0,∴零点属于(3,4),∴h(x)在(1,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增.而3<h(3)=3ln3+32<4,83<h(4)=4ln4+43<4,∴h(x0)<4,k∈Z,∴k的最大值是3.10.(-1,0) 解析在同一平面直角坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图可知,x的取值范围是(-1,0).11.(1,2] 解析由题意f(x)的图象如图,则a>1,3+loga2≥4,∴1<a≤2.12.(-1,0)∪(0,1) 解析作出符合条件的一个函数图象草图如图所示,6\n由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1).13.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 解析设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2.∴圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.14.22 解析如图,SRt△PAC=12|PA|·|AC|=12|PA|,当CP⊥l时,|PC|=|3×1+4×1+8|32+42=3,∴此时|PA|min=|PC|2-|AC|2=22.∴(S四边形PACB)min=2(S△PAC)min=22.15.(-3,3) 解析依题意,作出函数y3的图象,如下图.∵函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2,∴y2=x2+3x+2(x<0).若要直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点,则需直线y=kx+2与y1,y2均有交点.将直线y=kx+2分别代入y1,y2中得x2-(3+k)x=0,x2+(3-k)x=0.解得x1=3+k,x2=k-3,x3=0(舍去),∵y1=x2-3x+2(x>0),∴x1=3+k>0;∵y2=x2+3x+2(x<0),∴x2=k-3<0.联立得3+k>0,k-3<0,解得-3<k<3.16.(1)证明∵λ=1,∴D,E分别为AB和BB'的中点.又AA'=AB,且三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平行四边形ABB'A'为正方形,∴DE⊥A'B.∵AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB.∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平面ABB'A'⊥平面ABC.∴CD⊥平面ABB'A',∴CD⊥A'B.又CD∩DE=D,∴A'B⊥平面CDE.∵CE⊂平面CDE,∴A'B⊥CE.(2)解设BE=x,则AD=x,DB=6-x,B'E=6-x.6\n由已知可得C到平面A'DE的距离即为△ABC的边AB所对应的高h=AC2-AB22=4,∴VA'-CDE=VC-A'DE=13(S四边形ABB'A'-S△AA'D-S△DBE-S△A'B'E)h=13·36-3x-12(6-x)x-3(6-x)h=23(x2-6x+36)=23[(x-3)2+27](0<x<6),∴当x=3,即λ=1时,VA'-CDE有最小值18.6
