第1讲 函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )A.或－B.－或3C.－3或D.－3或3解析 圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3.答案 C2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是( )A.5B.7C.9D.10解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lgx，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案 C3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.答案 B4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A.B.2C.D.2解析 如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意知5\n⊥，∴O，A，C，B四点共圆.∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.答案 A二、填空题5.(2022·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.解析 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.答案 46.若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________.解析 作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.答案 7.经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析 如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，又kPA＝＝－1，kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k＜0时，≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈∪.答案 [－1，1] ∪8.满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________.5\n解析 可设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得S△ABC＝x，由余弦定理计算得cosB＝，代入上式得S△ABC＝x＝.由得2－2＜x＜2＋2.故当x＝2时，S△ABC的最大值为2.答案 2三、解答题9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2.所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.10.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.故椭圆C的方程为y2＋＝1.即y2＋2x2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由5\n得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)＞0，(*)x1＋x2＝，x1x2＝.因为＝3，所以－x1＝3x2.所以所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.所以3·＋4·＝0.整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝，由(*)式，得k2＞2m2－2，又k≠0，所以k2＝＞0.解得－1＜m＜－或＜m＜1.综上，所求m的取值范围为∪.11.设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－lnx(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.(1)求b的值；(2)若函数F(x)＝且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.解 函数g(x)＝bx2－lnx的定义域为(0，＋∞)，(1)f′(x)＝3ax2－3a⇒f′(1)＝0，g′(x)＝2bx－⇒g′(1)＝2b－1，依题意得2b－1＝0，所以b＝.(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，即g(x)在(0，1)上单调递减，5\nx∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，即f(x)在(－1，0)上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解.当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－1，0)上单调递减，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a.又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F(x)＝a2有四个解，则＜a2＜2a，所以，实数a的取值范围是.5
