[第19讲 函数与方程思想、数形结合思想](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．若复数z满足(1＋i)z＝1＋2i(其中i是虚数单位)，则复数z对应的点位于复平面的( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．方程sin＝x的实数解的个数是( )A．2B．3C．4D．以上均不对3．若x∈，则有( )A．x2>x>1B．x2>1>xC．1>x2>xD．x>1>x24．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)上的零点个数是( )A．0B．1C．2D．35．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2022，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2022＝________.提升训练6．与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是( )A．B．或C．D．或7．已知函数f(x)＝|log2|x||－，则下列结论正确的是( )A．f(x)有三个零点，且所有零点之积大于－1B．f(x)有三个零点，且所有零点之积小于－1C．f(x)有四个零点，且所有零点之积大于1D．f(x)有四个零点，且所有零点之积小于18．已知f(x)为R上的可导函数，且对任意x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是( )A．f(2022)>e2022f(0)B．f(2022)<e2022f(0)C．f(2022)＝e2022f(0)D．f(2022)与e2022f(0)的大小无法确定9．对任意的实数x，y，定义运算：xy＝设a＝，b＝，c＝，则bac的值是( )A．aB．bC．cD．不确定10．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________.11．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)＋，则f(x)的值域是________.-5-\n12．已知实数x，y满足z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是__________.13．设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.14．过点(3，0)的直线l与圆x2＋y2＝3相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为原点)，求直线l的方程.15．已知函数f(x)＝ex－kx2，x∈R.(1)若k＝，求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞1；(2)若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k的取值范围.-5-\n专题限时集训(十九)【基础演练】1．A [解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有(1＋i)(a＋bi)＝(a－b)＋(a＋b)i＝1＋2i，所以有解得a＝，b＝，所以z＝＋i，复数z对应的点位于复平面的第一象限．2．B [解析]在同一坐标系内作出y＝sin与y＝x的图像，如图所示，可知它们有3个不同的交点．3．A [解析]设y1＝log2x，y2＝2－x，在同一坐标系中作出其图像，如图所示，由图知，交点的横坐标x>1，则有x2>x＞1.4．B [解析]显然f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)上单调递增，f(0)f(2)＝－10<0，故只有一个零点．5．0 [解析]设等比数列{an}的公比为q，则由已知得a1qn－1＋2a1qn＋a1qn＋1＝0，即a1qn－1(1＋2q＋q2)＝0.因为a1qn－1≠0，所以1＋2q＋q2＝0，解得q＝－1，所以S2022＝＝0.【提升训练】6．B [解析]设所求向量m＝(x，y)，由题意得|a|＝|b|，|m|＝1，＝，即有3x＋4y＝0且x2＋y2＝1，解得或7．A [解析]在同一坐标系中分别作出f1(x)＝|log2|x||与f2(x)＝的图像，如图所示．由图像知f1(x)与f2(x)有三个交点，即函数f(x)有三个零点．设三个零点从左到右分别是x1，x2，x3，f<0，因为f>0，所以－<x1<－.同理，<x2<1，1<x3<2，则－1<x1x2x3<－，即所有零点之积大于－1.-5-\n8．B [解析]构造函数g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(0)>g(2022)，即>，即f(2022)<e2022f(0)．9．A [解析]设f(x)＝，则f′(x)＝，易知在区间(e，＋∞)上f′(x)<0恒成立，即函数f(x)在区间(e，＋∞)上单调递减．因为a＝f(4)，b＝f(9)，c＝f(25)，所以a>b>c，所以bac＝ac＝a.10．a>1 [解析]函数f(x)有两个零点，即方程ax＝x＋a有两个解，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图像有两个交点．作图分析易知当0<a<1时只有一个交点，当a>1时有两个交点．11． [解析]f(x)＝(sinx＋cosx)＋＝结合三角函数的图像知当x＝π时，f(x)取得最小值－，当x＝时，f(x)取得最大值2，所以这个函数的值域是.12．[0，5) [解析]由x，y的约束条件作出可行域，如图中阴影区域所示．令u＝2x－2y－1，则y＝x－，先画出直线y＝x，再平移直线y＝x，易知当直线分别经过点A(2，－1)，B时，u取得最大值与最小值．又x＜2，所以－≤u<5，故z＝|u|∈[0，5)．13．解：由f(x)＞a在区间[－1，＋∞)上恒成立，可知x2－2ax＋2－a＞0在区间[－1，＋∞)上恒成立，即函数g(x)＝x2－2ax＋2－a的图像在区间[－1，＋∞)上位于x轴上方．故Δ＜0或解得－2＜a＜1或－3＜a≤－2.综上所述，a∈(－3，1)．14．解：设直线l的方程为x＋ay－3＝0(a≠0)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立消去y，得(a2＋1)x2－6x＋9－3a2＝0，∴x1x2＝.①由方程组消去x，得(a2＋1)y2－6ay＋6＝0，∴y1y2＝.②-5-\n依题意知OP⊥OQ，∴＝－1，即y1y2＋x1x2＝0.由①②知，＋＝0，解得a＝±.∴所求直线l的方程为x＋y－3＝0或x－y－3＝0.15．解：(1)证明：f(x)＝ex－x2，则h(x)＝f′(x)＝ex－x，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，∴h(x)＝f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，∴f(x)＝ex－x2在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝1.(2)f′(x)＝ex－2kx若k≤0，显然f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k.当0＜k＜时，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当k≥时，φ(x)＝ex－2kx在区间(0，ln2k)上单调递减，在区间(ln2k，＋∞)上单调递增，f′(x)＝φ(x)≥φ(ln2k)＝eln2k－2kln2k，由eln2k－2kln2k≥0，得2k－2kln2k≥0，解得≤k≤.综上，k的取值范围为.-5-
