专题突破练10 三角变换与解三角形1.(2022北京卷,文16)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.9\n3.(2022河南郑州三模,文17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosC=(2b-c)cosA.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.4.(2022河南六市联考二,文17)已知f(x)=12sin·cosx-3,x∈.(1)求f(x)的最大值和最小值;(2)CD为△ABC的内角平分线,已知AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=2,求∠C.5.(2022山东潍坊三模,文17)已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2sinxcosx(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期;9\n(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)=2,c=5,cosB=,求△ABC中线AD的长.6.已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4cos2-4sinBsinC=3.(1)求A;(2)若(bc-4)cosA+accosB=a2-b2,求△ABC的面积.9\n8.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=1,且A-B=,(1)求边c的长;(2)求角B的大小.参考答案专题突破练10 三角变换与解三角形1.解(1)因为f(x)=sin2x=sin2x-cos2x+=sin2x-+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin.因为x∈,9\n所以2x-.要使f(x)在上的最大值为,即sin上的最大值为1.所以2m-,即m≥.所以m的最小值为.2.解(1)由已知可得tanA=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.3.解(1)由正弦定理可得sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA,从而可得sin(A+C)=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,所以cosA=.因为A为三角形的一个内角,所以A=.9\n(2)由余弦定理得4=b2+c2-2bc·≥2bc-bc,所以bc≤4(2+),所以S=bcsinA=2+.4.解(1)f(x)=12sinx××cosx+12cosx×cosx-3=3sin2x+3(1+cos2x)-3=6sin.∵f(x)在上单调递增,在上单调递减,∴f(x)max=6,f(x)min=3.(2)在△ADC中,,在△BDC中,.∵sin∠ADC=sin∠BDC,AC=6,BC=3,∴AD=2BD.在△BCD中,BD2=17-12cos,在△ACD中,AD2=44-24cos=68-48cos,∴cos,即C=.5.解(1)f(x)=-cos2x+sin2x=2sin,T==π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)=2sin,∵在△ABC中,f(A)=2,∴sin=1.9\n∴2A-,∴A=.∵cosB=,∴sinB=,∴sinC=sin(A+B)=,在△ABC中,由正弦定理,得,∴a=7.∴BD=.在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cosB=52+-2×5×,∴AD=.6.解(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, ①AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. ②因为cos∠ADB=-cos∠ADC,所以①+2×②得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.解(1)4×-4sinBsinC=2+2cosBcosC-2sinBsinC=2+2cos(B+C)=2-2cosA=3,cosA=-,∵0<A<π,∴A=.9\n(2)∵(bc-4)·+ac·=a2-b2,∴-4=a2-b2,∴b2+c2-a2-4=0,∵A=,∴b2+c2-a2≠0,∴1-=0,bc=2,S△ABC=bcsinA=×2.8.解(1)acosB=3,a×=3,化为a2+c2-b2=6c,①bcosA=1,b×=1,化为b2+c2-a2=2c.②解由①,②组成的方程组得2c2=8c,即c=4.(2)由(1)得到的c=4代入①可得a2-b2=8.又A-B=,∴A=B+,C=π-(A+B)=π-,可得sinC=sin.由正弦定理可得,∴a=,b=.∴a2-b2=8⇔16sin2-16sin2B=8sin2,∴1-cos-(1-cos2B)=sin2,即cos2B-cos=sin2,9\n∴sin=sin2,∴sin=0或sin2B+=1,B∈,解得B=.9
