题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2022浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.2.(2022北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.7\n3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tanxsinπ2-xcosx-π3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.7\n5.已知函数f(x)=3acos2ωx2+12asinωx-32a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=835,且x0∈-103,23,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sinx,cosx),x∈0,π2.(1)若m⊥n,求tanx的值;7\n(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.7\n题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)由角α的终边过点P-35,-45,得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P-35,-45,得cosα=-35,由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.2.解(1)在△ABC中,∵cosB=-17,∴B∈π2,π,∴sinB=1-cos2B=437.由正弦定理,得asinA=bsinB⇒7sinA=8437,∴sinA=32.∵B∈π2,π,∴A∈0,π2,∴A=π3.(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32×-17+12×437=3314.如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.∵sinC=hBC,∴h=BC·sinC=7×3314=332,∴AC边上的高为332.3.解(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.7\n(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsinA=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.4.解(1)f(x)的定义域为xx≠π2+kπ,k∈Z.f(x)=4tanxcosxcosx-π3-3=4sinxcosx-π3-3=4sinx12cosx+32sinx-3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sinz的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,π4,B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,当x∈-π4,π4时,f(x)在区间-π12,π4上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减.5.解(1)由已知可得f(x)=a32cosωx+12sinωx=asinωx+π3.∵BC=T2=4,∴T=8,∴ω=2π8=π4.由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=32BC=23.(2)由(1)知f(x0)=23sinπ4x0+π3=835,即sinπ4x0+π3=45.∵x0∈-103,23,∴π4x0+π3∈-π2,π2,∴cosπ4x0+π3=1-452=35,7\n∴f(x0+1)=23sinπ4x0+π4+π3=23sinπ4x0+π3+π4=23sinπ4x0+π3cosπ4+cosπ4x0+π3sinπ4=23×45×22+35×22=765.6.解(1)∵m=22,-22,n=(sinx,cosx),且m⊥n,∴m·n=22,-22·(sinx,cosx)=22sinx-22cosx=sinx-π4=0.又x∈0,π2,∴x-π4∈-π4,π4.∴x-π4=0,即x=π4.∴tanx=tanπ4=1.(2)由(1)和已知,得cosπ3=m·n|m|·|n|=sinx-π4222+-222·sin2x+cos2x=sinx-π4=12.又x-π4∈-π4,π4,∴x-π4=π6,即x=5π12.7
