题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2022江苏,16)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.3.(2022全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.-6-\n4.已知函数f(x)=4tanxsinπ2-x·cosx-π3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.5.已知函数f(x)=3acos2ωx2+12asinωx-32a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC-6-\n是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=835,且x0∈-103,23,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sinx,cosx),x∈0,π2.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.参考答案题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,-6-\n故cosx≠0.于是tanx=-33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+π6.因为x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6,从而-1≤cosx+π6≤32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-23.2.(1)证明由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)解由(1)知c=a+b2,所以cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-14≥12,当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为12.3.解(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsinA=a23sinA,即bc=8.-6-\n由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.4.解(1)f(x)的定义域为xx≠π2+kπ,k∈Z.f(x)=4tanxcosxcosx-π3-3=4sinxcosx-π3-3=4sinx12cosx+32sinx-3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sinz的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,π4,B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,当x∈-π4,π4时,f(x)在区间-π12,π4上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减.5.解(1)由已知可得f(x)=a32cosωx+12sinωx=asinωx+π3.∵BC=T2=4,∴T=8,∴ω=2π8=π4.由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=32BC=23.(2)由(1)知f(x0)=23sinπ4x0+π3=835,即sinπ4x0+π3=45.∵x0∈-103,23,∴π4x0+π3∈-π2,π2,∴cosπ4x0+π3=1-452=35,∴f(x0+1)=23sinπ4x0+π4+π3=23sinπ4x0+π3+π4=23sinπ4x0+π3cosπ4+cosπ4x0+π3sinπ4=2345×22+35×22=765.-6-\n6.解(1)∵m=22,-22,n=(sinx,cosx),且m⊥n,∴m·n=22,-22·(sinx,cosx)=22sinx-22cosx=sinx-π4=0.又x∈0,π2,∴x-π4∈-π4,π4.∴x-π4=0,即x=π4.∴tanx=tanπ4=1.(2)由(1)和已知,得cosπ3=m·n|m|·|n|=sinx-π4222+-222·sin2x+cos2x=sinx-π4=12.又x-π4∈-π4,π4,∴x-π4=π6,即x=5π12.-6-
