题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.已知函数f(x)=sinx-2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最小值.2.在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.4\n3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.4.(2022北京,文16)已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.5.已知函数f(x)=acos2asinωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.4\n(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.##题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)因为f(x)=sinx+cosx-=2sin,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间上的最小值为f=-.2.解(1)因为cosB=,0<B<π,所以sinB=.由正弦定理知,所以AB==5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sinBsin,又cosB=,sinB=,4\n故cosA=-=-.因为0<A<π,所以sinA=.因此,cos=cosAcos+sinAsin=-.3.(1)证明根据正弦定理,可设=k(k>0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入中,有,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cosA=.所以sinA=.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,故tanB==4.4.(1)解f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin=-.所以当x∈时,f(x)≥-.5.解(1)由已知可得f(x)=a=asin,∵BC==4,∴T=8,∴ω=,由题中图象可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2.(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin.∵x0∈,∴x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=2.6.解(1)∵m=,n=(sinx,cosx),且m⊥n,∴m·n=·(sinx,cosx)=sinx-cosx=sin=0.又x∈,∴x-.∴x-=0,即x=.∴tanx=tan=1.(2)由(1)和已知得cos==sin,又x-,∴x-,即x=.4
