专题能力训练20 概率、统计与统计案例一、能力突破训练1.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.342.已知x与y之间的一组数据:x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为y^=2.1x+0.85,则m的值为( )A.1B.0.85C.0.7D.0.53.某市2022年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A.19B.20C.21.5D.2313\n4.(2022全国Ⅱ,理8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.1185.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x/万元8.28.610.011.311.9支出y/万元6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y^=b^x+a^,其中b^=0.76,a^=y-b^x.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元6.如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 . 7.有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 . 8.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 13\n9.一辆小客车有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.10.(2022全国Ⅲ,理18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?13\n附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82811.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:t)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^;(3)已知该厂技术改造前生产100t甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)二、思维提升训练12.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2022年1月至2022年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )13\nA.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳13.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:由表可得回归直线方程y^=b^x+a^中的b^=-4,据此模型预测零售价为15元时,每天的销售量为( )x16171819y50344131A.51个B.50个C.49个D.48个14.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.7915.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn16.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 . 17.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为 . 13\n18.(2022全国Ⅱ,理18)下图是某地区2000年至2022年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2022年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2022年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y^=-30.4+13.5t;根据2022年至2022年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y^=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.19.A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)20.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图:13\n(1)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到如下数据: 年级名次是否近视 1~50951~1000近视4132不近视918根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.附:P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.13\n专题能力训练20 概率、统计与统计案例一、能力突破训练1.B 解析这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=2040=12,故选B.2.D 解析由题意,得x=1.5,y=14(m+3+5.5+7)=m+15.54,将(x,y)代入线性回归方程y^=2.1x+0.85,得m=0.5.3.B 解析由茎叶图可知,这组数据的中位数为20+202=20.4.C 解析不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.其中和为30的有7+23,11+19,13+17共3种情况,故P=3C102=115.5.B 解析∵x=8.2+8.6+10+11.3+11.95=10,y=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8,∴a^=y-0.76x=8-0.76×10=0.4.∴y^=0.76x+0.4.当x=15时,y^=0.76×15+0.4=11.8.6.512 解析∵S阴影=12(4-x2)dx=53,S矩形ABCD=4,∴P=S阴影S矩形ABCD=512.7.23 解析设“点P到点O的距离大于1”为事件A,则A表示事件“点P到点O的距离小于或等于1”.在圆柱内以O为球心,以1为半径作半球,则半球的体积V半球=12×4π3×13=2π3,又V圆柱=π×12×2=2π,由几何概型,P(A)=V半球V圆柱=13.故所求事件A的概率P(A)=1-P(A)=1-13=23.8.18 解析抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300×350=18(件),答案为18.9.解(1)当乘客P1坐在3号位置上,此时P2的位置没有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可选剩下的任何一个座位,即可选1,4,5;当P3选1位置,P4位置没被占,只能选4位置,P513\n选剩下的,只有一种情况;当P3选4位置,P4可选5位置也可选1位置,P5选剩下的,有两种情况;当P3选5位置,P4只可选4位置,P5选剩下的,有一种情况,填表如下:乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513241532541(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,则所有可能的坐法可用下表表示:于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4,所以P(A)=48=12.所以乘客P5坐到5号座位的概率是12.10.解(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:①由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.②由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.③由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.13\n④由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m=79+812=80.列联表如下:超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2=40×(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.11.解(1)由题设所给数据,可得散点图如图.(2)由对照数据,计算得∑i=14xi2=86,x=3+4+5+64=4.5(t),y=2.5+3+4+4.54=3.5(t).已知∑i=14xiyi=66.5,所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为b^=∑i=14xiyi-4x·y∑i=14xi2-4x2=66.5-4×4.5×3.586-4×4.52=0.7,a^=y-b^x=3.5-0.7×4.5=0.35.因此,所求的线性回归方程为y^=0.7x+0.35.13\n(3)由(2)的回归方程及技术改造前生产100t甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤).二、思维提升训练12.A 解析由题图可知2022年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.13.C 解析由题意知x=17.5,y=39,代入回归直线方程得a^=109,即得回归直线方程y^=-4x+109,将x=15代入回归方程,得y^=-4×15+109=49,故选C.14.C 解析从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有A92种不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的有(A51A41+A41A51)种情况,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=A51A41+A41A51A92=59.故选C.15.C 解析利用几何概型求解,由题意可知,14S圆S正方形=14π×1212=mn,所以π=4mn.16.2e2 解析∵S阴=201(e-ex)dx=2(ex-ex)|01=2,S正方形=e2,∴P=2e2.17.12π 解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π.区域Ω2就是图中△OAB内部(含边界),且S△OAB=12×22=2.由几何概型,点M落在区域Ω2的概率P=S△OABS圆O=12π.18.解(1)利用模型①,该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值为y^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值为y^=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2022年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2022年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.13\n2022年相对2022年的环境基础设施投资额有明显增加,2022年至2022年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2022年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2022年至2022年的数据建立的线性模型y^=99+17.5t可以较好地描述2022年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2022年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)19.解(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×820=40.(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,…,8.由题意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18,j=1,2,…,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=140,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×140=38.(3)μ1<μ0.20.解(1)设各组的频率为fi(i=1,2,3,4,5,6),由前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,可得前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,则f1=0.15×0.2=0.03,f2=0.45×0.2=0.09,f3=f22f1=0.27,所以由(f3+f6)·42=1-(0.03+0.09)得f6=0.17,所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83,故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×0.83=830.(2)K2的观测值k=100×(41×18-32×9)250×50×73×27=30073≈4.110>3.841.因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(3)依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人,13\nX可取0,1,2,3,P(X=0)=C63C93=521;P(X=1)=C62C31C93=1528,P(X=2)=C61C32C93=314;P(X=3)=C33C93=184.X的分布列为X0123P5211528314184X的数学期望E(X)=0×521+1×1528+2×314+3×184=1.13
