专题1712月第二次周考（第八章解析几何测试二）测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查直线方程与圆的方程的求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线及抛物线的简单的几何性质的应用、直线与圆锥曲线的位置关系等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；整套试卷注重数形结合能力和运算能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重选择适当的方法求直线和圆的方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系的判断方法的总结；关注运算能力的培养；加强直线、圆及圆锥曲线的位置关系综合题的求解能力的培养．试卷中第6，9，10，14，19，21各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线过点，则的斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线的斜率，故选A．2．椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，为一个交点，则（）A．B．C．D．4【答案】C3．已知双曲线的左焦点为，第二象限的点在双曲线的渐近线上，且，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16\n【答案】A4．设椭圆的方程为右焦点为，方程的两实根分别为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为方程的两根分别为，，则，的取值范围是，故选D．5．已知抛物线的焦点为，、为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：抛物线的焦点为，设直线的方程为：，代入抛物线方程可得．设，，则，，由，得，则16\n．．故选C．【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．6．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）A．1或5B．1或9C．1D．9【答案】B【名师点睛】解答本题的过程中，容易忽视双曲线定义中的绝对值的符号，从而失去一个解而致错．7．过点(－2，0)的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线的斜率为，则直线的方程为，圆的圆心，半径，圆心到直线：的距离，∵过点的直线与圆相交于、两点，且线段，∴由勾股定理得，即，解得，故选C．8．已知点是椭圆上的一点，，是焦点，若取最大时，则的面积是（）A．B．C．D．16\n【答案】B【解析】∵椭圆方程为，因此，椭圆的焦点坐标为．根据椭圆的性质可知当点与短轴端点重合时，取最大值，则此时的面积，故选B．9．双曲线的左右焦点分别为，椭圆与双曲线有公共的焦点，且在第一象限和第四象限的交点分别为，弦过，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】A10．经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点，则直线的方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，可得，，两式相减可得：，为的中点，即有，，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，即为，由代入双曲线的方程16\n，可得，即有，故存在直线，其方程为，故选C．【名师点睛】本题考查双曲线的中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，注意检验直线的方程的存在性，考查运算能力，属于中档题；设，，代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线的方程，代入双曲线的方程，由判别式的符号，即可得到判断直线的存在性．11．方程化简的结果是（ ）．A．B．C．D．【答案】B12．已知双曲线Γ：的焦距为2c，直线．若，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：直线l:y=k(x−c)过焦点F(c，0)．双曲线的渐近线方程，可得双曲线的渐近线斜率，∵，由，∴2<e<4，∴双曲线离心率的取值范围为(2，4)．故选C．【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c16\n的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为______．【答案】14．在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为__________．【答案】27【解析】画出图像如下图所示，由于、为定值，故在以为弦的圆上运动，由正弦定理得，故圆心的坐标为，的最大值即为的值，也即是的值，由两点间的距离公式有．16\n15．已知，是椭圆在左，右焦点，是椭圆上一点，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率等于__________．【答案】或角或角为直角，不妨令角为直角，此时，代入椭圆方程，得．又等腰直角，得，故得，即，即．得，又，得．16\n故椭圆离心率为或．【名师点睛】这个题目考考查了分类讨论的思想，已知是等腰直角三角形，可得到要讨论哪个角是直角，若为直角顶点，可得，进而求得离心率．令角为直角，此时，代入椭圆方程得到基本量的关系．16．已知的周长为26且点的坐标分别是，，则点的轨迹方程为．【答案】【方法点晴】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点；求曲线方程的一般步骤（直接法）：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用表示曲线上任一点的坐标；（2）列式：写出适合条件的点的集合；（3）代入：用坐标表示出条件，列出方程；（4）化简：化方程为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．（I）求椭圆的标准方程；（II）设，过椭圆左焦点的直线交于两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：16\n(1)利用题意求得，∴椭圆的标准方程为．(2)直线垂直于轴时，；当直线不垂直于轴时，联立直线与椭圆的方程，整理可得．综上，有的最小值为．试题解析：（I）依题意，．解得，∴椭圆的标准方程为．当直线不垂直于轴时，设直线，由整理得，所以，，所以．要使不等式恒成立，只需，即的最小值为．【名师点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．18．（本小题满分12分）已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2． 16\n（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点．（1）试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．（2）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）．试题解析：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线的距离为1，即，所以，又椭圆经过点，所以，得到，所以椭圆的标准方程为． （Ⅱ）（1）设，，，的方程为，则的方程为．由得即所以，由，得，16\n所以，，，所以．∴，令，则（），，令，，∴在上为增函数，，．【点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题．解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解．本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出．．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．19．（本小题满分12分）椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足丨PQ丨=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q的面积为1．16\n（1）求椭圆的方程；（2）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）（2）m=-，定点（0，-）试题解析：（1）∠PF2E=90°口PF1QF2为矩形丨F1F2丨=丨PQ丨=2c=1==1PF1·PF2=2又PF1+PF2=2a，则a2=2，b2=1椭圆方程：(2)（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0=8（2k2+1-m2），x1+x2=，x1x2==（x1，y1-1）（x2，y2-1）=03m2-2m-1=0又直线不经过A（0，1），所以m≠1，m=-，定点（0，-）20．（本小题满分12分）已知点，圆．（）设，求过点且与圆相切的直线方程．（）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．16\n（）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程．【答案】（1）切线方程为或；（2）直线的方程为或；（3）方程为即．线的距离为，得到结果．（3）首先要分析出来线段最短时直线和圆的位置关系：，故当时，，再根据垂径定理得到直线的斜率．（）解：如图所示，此时，设切线为或，验证知与题意相符；当切线为，即时，圆心到切线的距离，解得，所以，切线方程为或．（）如图所示，此时，设直线为或（舍），设弦的中点为，则，，所以，即圆心到直线的距离为16\n，于是，解得或，所以，直线的方程为或．（）如图所示，此时，设所截得的线段为，圆心到直线的距离为，则，21．（本小题满分12分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程．（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；（2）四边形PAMB的面积为S＝2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．试题解析：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得解得a＝b＝1，r＝2．故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．(2)由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|．又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|．16\n而|PA′|＝．即S＝2．因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2．22．（本小题满分12分）在直角坐标系中，设椭圆的焦点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，若的周长为短轴长的倍．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设的斜率为，在椭圆上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标．【答案】（1）（2）不存在点，使成立．结合韦达定理得，．代入解得矛盾，故不存在．试题解析：解：（Ⅰ）∵椭圆：的焦点为，，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为短轴长的倍，的周长为．∴依题意知，即．∴椭圆的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为，代入椭圆方程得．16\n设，，则，．设，则．①由得代入①得．因为，，所以．②而．从而②式不成立．故不存在点，使成立．16
