12月第一周解析几何测试一测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查直线方程与圆的方程的求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线及抛物线的简单的几何性质的应用、直线与圆锥曲线的位置关系等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；整套试卷注重数形结合能力和运算能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重选择适当的方法求直线和圆的方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系的判断方法的总结；关注运算能力的培养；加强直线、圆及圆锥曲线的位置关系综合题的求解能力的培养．试卷中第4，6，11，16，17，18，21各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．经过点，的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由两点式可得该直线方程为，整理得，选C．2．已知正三角形的顶点在抛物线上，另一个顶点，则这样的正三角形有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D3．已知直线与抛物线：及其准线分别交于两点，为抛物线的焦点，若，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，设直线的倾斜角为14\n，同理，当时，综上，故选C．4．已知分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，得为直角三角形．由求出两锐角，根据斜边求两直角边，再根据椭圆定义得关于的关系式，可求离心率．5．设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足．若直线的斜率为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵抛物线方程为y2=8x，∴焦点F(2，0)，准线l方程为x=−2，∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y=(x−2)，由，可得A点坐标为，∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴|PF|=|PA|=6−(−2)=8，本题选择C选项．6．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．14\n【答案】D7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线方程为，所以，离心率．故选A．8．已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线经过点，且斜率为，则即故选A9．直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：3x＋(a－2)y＋a2－4＝0平行，则实数a的值是( )A．－1或3B．－1C．－3或1D．3【答案】D【解析】由两条直线平行的充要条件的到当时两条直线重合，所以舍去；所以得到故答案选择D．10．双曲线和椭圆有相同的焦点，为两曲线的交点，则等于A．B．C．D．14\n【答案】C【名师点睛】本题考查了双曲线、椭圆的定义问题，利用定义结合题意求解即可，注意解题中灵活应用圆锥曲线的定义可以简化很多不必要的计算问题．11．设点圆上的一个动点，则点到直线的距离最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心，圆心到直线的距离为到直线的距离的最小值为．故选A．12．是抛物线上不同三点，其中是坐标原点，，直线交轴于点，是线段的中点，以抛物线上一点为圆心、以为半径的圆被轴截得的弦长为，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线的方程为，则直线的方程为，联立，解得，同理可得，∴直线的方程为，化为，令，解得，∴．设，则，综上可得．故选C．14\n【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、直线与圆相交弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题，主要方法就是直线和抛物线联立，将向量问题，长度问题转化成坐标运算即可．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】解：设双曲线方程为，由题意可知：，解得，双曲线的方程为：．14．过定点的直线：与圆：相切于点，则__________．【答案】415．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆与抛物线的准线切于，且的面积为，则抛物线的方程为________【答案】【解析】设过焦点的直线方程为，将代入可得，即，设交点，则，，由题意，即，解之得14\n，故，应填答案．【名师点睛】解答本题的关键是求出抛物线的标准方程中的参数，求解时充分借助题设条件，先建立直线的点斜式方程，后与抛物线标准方程联立方程组，依据交点坐标之间的关系及三角形面积公式建立方程，通过解方程使得问题获解．16．【【百强校】2022届重庆市第八中学高三上一调考试】已知曲线（且）与直线相交于两点，且（为原点），则的值为_____________．【答案】【解析】，由得，化简得．考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．两个向量的数量积等于零，也就是说这两个向量垂直，转化为代数式子就是，由此可以想到利用根与系数关系求出．联立直线的方程和曲线的方程，消去，写出根与系数关系，然后带入数量积，化简就可以得到．根与系数关系运算量较大，注意检验计算是否正确．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知直线经过直线与直线的交点，并且垂直于直线．（Ⅰ）求交点的坐标；（Ⅱ）求直线的方程．14\n【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）．（Ⅱ）因为直线与直线垂直，所以，所以直线的方程为．18．（本小题满分12分）已知直线，．圆满足条件：①经过点；②当时，被直线平分；③与直线相切．（I）求圆的方程；（II）对于，求直线与圆相交所得的弦长为整数的弦共有几条．【答案】（I）；（II）条．【解析】试题分析：（I）根据圆的圆心在直线上，设出圆的方程，根据条件圆心到点与到直线的距离相等，列出方程求解的值，得到圆的方程；（II）判定直线过定点，且点在圆内，可得过点的最长弦长为，最短弦长为，从而可得弦长为正数的直线的条数．试题解析：（I）由②可知圆的圆心在直线上，故可设圆的方程为由①③，圆心到点与到直线的距离相等，即，解得∴，圆的方程为．当直线时，取最小值，，，而此时不存在14\n∴，，故弦长为整数的值有各有条；而时有条，故弦长为整数的弦共有条．考点：圆的方程；直线与圆的位置关系及其应用．【方法点晴】本题主要考查了圆的方程的求解、直线与圆的位置关系的判定及其应用、直线与圆相交时弦长的最值及计算等知识的应用，属于中档试题，其中确定直线过定点，且点在圆内，利用数形结合和弦长公式得到最长弦长和最短弦长是解答本题的一个关键点和难点，也考查了体现了数形结合思想和转化思想的应用．19．（本小题满分12分）已知椭圆过点，两个焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】试题分析：(1)由题意得到a，b的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论．试题解析：（1）由题意可得：，则椭圆的方程为（2）设，直线方程为，，得：由韦达定理：，，由题意可知，即14\n∴即∴或当时，直线方程恒过定点当时，直线方程恒过定点与点重合，不合题意舍去，综上所述，直线恒过定点．【名师点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．（本小题满分12分）设椭圆的焦点在轴上．（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；14\n（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，并且．证明：当变化时，点在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】上．试题解析：（1）依题意，，即，所以椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）设，其中，因为直线交轴于点，所以，故直线的斜率，直线的斜率，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分直线的方程为点的坐标为，所以直线的斜率为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由于，所以，化简得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分因为为椭圆上第一象限内的点，将上式代入，得14\n，且，所以点在定直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21．（本小题满分12分）已知抛物线焦点为，点为该抛物线上不同的三点，且满足．（1）求；（2）若直线交轴于点，求实数的取值范围．【答案】（1）6;（2）足抛物线方程，借助判别式求出的范围．试题解析：设由抛物线得焦点坐标为，所以，，，所以由，得（1）易得抛物线准线为，由抛物线定义可知，，，14\n所以．且，所以，代入式子得又点也在抛物线上，所以，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②由①，②及可解得即又当时，直线过点，此时三点共线，由得与共线，即点也在直线上，此时点必与之一重合，不满足点为该抛物线上不同的三点，所以，所以实数的取值范围为．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，为抛物线：上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于两点，求面积的最大值．14\n【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：当时，等号成立，经检验此时，满足题意．即面积的最大值为．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则椭圆方程为，即．设，则．当时，有最大值为．解得，则．所以椭圆的方程是．（Ⅱ）设曲线：上的点，因为，所以直线的方程为，即，代入椭圆方程得，则有．设，则，．所以．14\n设点到直线的距离为，则．所以的面积．当时，等号成立，经检验此时，满足题意．综上，面积的最大值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；(2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．14
