11月第二周立体几何测试一测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查空间点线面位置关系（特别是平行与垂直的判断与证明）、三视图、空间几何体面积与体积的计算、空间角与空间距离的计算等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-14及17-20题等；注重基本运算能力的考查，如第1，3-6，8-10，13-15，17-22题；注重空间想象能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重基本定理（判定定理、性质定理）及基本公式的熟记与理解；加强培养学生的基本运算能力，总结空间线线平行（垂直）、线面平行以（垂直）及面面平行（垂直）证明的常用方法．试卷中第2，3，8，10，16，18，22各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为( )A.B.C.D.【答案】D2．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.B.C.D.【答案】B20\n【解析】，若，则，．故选B．3．四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为同一球面上，则（）A．3B．C．D．【答案】B【解析】考点：球的内接多面体；求的体积和表面积公式．【方法点晴】本题主要考查了四面体的外接球的体积公式、球内接四棱锥的性质等知识的应用，同时考查了共定理的运用，解答值需要认真审题，注意空间思维能力的配用，解答中四棱锥的外接球是以为球心，半径为，利用体积公式列出等式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．4．如图5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（ ）20\n(A)(B)(C)6(D)4【答案】C【解析】如图所示原几何体为三棱锥，其中，，故最长的棱的长度为，选C点睛：对于小方格中的三视图，可以放到长方体，或者正方体里面去找到原图，这样比较好找；5．二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为( )(A) (B) (C) (D)【答案】C故选C.6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )①②③④若(A)①②(B)③④(C)①③(D)②④【答案】D20\n【解析】可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对，故选D.7．河堤斜面与水平面所成角为，堤面上有一条直道，它与堤角的水平线的夹角为，沿着这条直道从堤角向上行走到20m时，则人升高了（）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】。点睛：理解题意，人升高，指的是竖直距离升高了多少，所以要构造地面的垂直线段；8．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.原几何体为组合体;上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),20\n其体积为.故选A;9．已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的体积为（）(A) (B) (C) (D)【答案】B点睛：运用球当中的垂面定理，构造勾股定理，求出球的半径；10．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】设h=SO,则,所以底面边长为,所以，令得，，故当h=2时，该棱锥的体积最大.所以选C11．如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是20\n（A）（B）（C）与平面所成的角为（D）四面体的体积为ABCDBCD【答案】B【解析】解答：若A成立可得BD⊥A'D，产生矛盾，故A不正确；由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知C不正确；由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是B正确；VA′-BCD=VC-A′BD=，D不正确．其中正确的有1个故选B．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．12．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（）A.B.平面平面C.的最大值为D.的最小值为【答案】C【解析】试题分析：∵，，∴面，面，∴，A正确；∵平面即为平面，平面即为平面，且平面20\n，∴平面平面，∴平面平面，∴B正确；当时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正确，故选C．考点：立体几何中的动态问题．【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：1．求空间角、距离，归到三角形中求解；2．对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离．二、填空题（每题5分，满分20分）13．在一个平行六面体中，以A为端点的三条棱长都相等，均为2，且的夹角均为，那么以这个顶点为端点的平行六面体的体对角线的长度为__________．【答案】【解析】考点：空间向量的数量积与模．20\n【名师点睛】本题考查空间向量的数量积与模，中档题；在求距离问题时，通常通过求向量的模来完成，即将所求线段先用有向线段所在向量表示，通过空间向量基本定理用空间的一组基底来表示该向量，通过向量的方法求线段的长度．14．在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为2，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_________．【答案】（），．令，得，当时，；当时，，故当时，正四棱锥的体积最小．15．如图所示，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，是的中点，点在线段上，当________时，平面.20\n【答案】或【解析】由已知得平面，又平面，∴，故若平面，则必有，设（），则，，又，∴，解得或，故答案为或.16．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为和的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，棱台的体积为________。【答案】1900cm3由，得，所以，又因为，，所以棱台的高，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为：．故棱台的体积为1900.点睛：熟知棱台的体积公式，利用题目中的条件：，得到；再求体高，；最后求得体积。三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，几何体中，为边长为的正方形，为直角20\n梯形，，，，，．（1）求异面直线和所成角的余弦值；（2）求几何体的体积．【答案】(1)；（2）．【解析】间两向量的夹角，要注意异面直线所成的角的范围是，而向量的夹角范围是，解题时注意转化；（2）这个几何体我们要通过划分，把它变成几个可求体积的几何体，如三棱锥和四棱锥，这两个棱锥的体积都易求，故原几何体的体积也易求得．试题解析：（1）解法一：在的延长线上延长至点使得,连接.由题意得，，，平面，∴平面，∴，同理可证面.∵，，∴为平行四边形，∴.则（或其补角）为异面直线和所成的角.由平面几何知识及勾股定理可以得20\n在中，由余弦定理得．∵异面直线的夹角范围为，∴异面直线和所成的角为．解法二：同解法一得所在直线相互垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵异面直线的夹角范围为，∴异面直线和所成的角为．（２）如图，连结，过作的垂线，垂足为，则平面，且.∵.∴几何体的体积为.考点：（1）异面直线所成的角；（2）几何体的体积．20\n18．（本小题满分12分）如图，直四棱柱中，四边形为梯形，，且.过三点的平面记为，与的交点为.(I)证明：为的中点；(II)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.【答案】(1)见解析;(2).=ahd，由此能求出此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比．(I)证明：延长交于，则平面，又平面，平面平面，所以因为所以，即为的中点．(II)如图所示，连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.三棱椎，四棱椎所以＝三棱椎20\n+四棱椎=.又四棱柱，所以＝四棱柱－，故.19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，⊥平面，，，，分别为的中点．(I)求到平面的距离；(II)在线段上是否存在一点，使得平面∥平面，若存在，试确定的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．【答案】(1);(2)见解析.即与为直角三角形．又因为,所以.由,可知为直角三角形．20\n所以，所以,设到平面的距离为，由于，得，解得因为分别为的中点，所以.又平面，所以平面，又平面，平面，所以平面∥平面.20．（本小题满分12分）如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）要证AF与平面BEG垂直，只要证AF与平面内两条相交直线垂直，由已知GF垂直于底面ABCD，有GF垂直AF，另外可以在矩形BACD中证明BE垂直于AC（可用相似三角形证明角相等）；（Ⅱ20\n）求直线EG与平面所成角的正弦，可用体积法求出E到平面ABG的距离d，则就是所求正弦值，而求棱锥的体积可通过来求得．试题解析：证法1：∵四边形为矩形，∴∽，∴又∵矩形中，，∴在中，∴，在中，证法3：（向量法）以为基底，∵，∴∴，往下同证法1．（2）在中，在中，在中，，∴20\n设点到平面的距离为，则，∴设直线与平面所成角的大小为，则另法：由（1）得两两垂直,以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，xyz则，，，，，，，设是平面的法向量，则，即，取，得设直线与平面所成角的大小为，则20\n∴直线与平面所成角的正弦值为考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角．21．（本小题满分12分）如图，在中，已知在上，且又平面．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题解析：解：（Ⅰ）设，由平面，知⊥平面．从而在中为直角三角形，故又，又平面20\n平面，平面．故∵∴平面（Ⅱ）以所在射线分别为轴，建立直角坐标系如图．设平面的法向量为，令，则，由图可知，二面角的余弦值为考点：线面垂直判定定理。利用空间向量求二面角22．（本小题满分12分）如图1，在中，分别是上的点，且，，将△沿折起到△的位置，使，如图2.(I)求证：；(II)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．20\n【答案】(1)见解析;(2)线段上不存在点，使平面与平面垂直．.所以，，又因为，所以平面.所以.又因为，所以平面.(II)解：线段上不存在点，使平面与平面垂直．以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，．假设这样的点存在，设其坐标为，其中．设平面的法向量为，则,又，，所以3x-23z=0-x+2y=0令，则.所以．20\n平面的法向量为，则，又，，所以令，则.所以平面⊥平面，当且仅当，即.解得，与矛盾．所以线段上不存在点，使平面与平面垂直．点睛：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，MN：向量语言表述面面的垂直、平行关系；LW：直线与平面垂直的判定；MQ：用空间向量求直线与平面的夹角；既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会.20
