第三周数列测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查数列的概念、等差数列等比数列及其性质、数列通项公式的求法、数列求和以及数列的综合应用等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第8，11等题考查等差数列与等比数列的综合；取材新颖，如第9题，取材于古典数学．讲评建议：评讲试卷时应注重等差数列等比数列及其性质的应用（如第1，6，7，10，11等题）、数列通项公式的求法以及常用数列求和的方法的总结，如裂项相消法：第18，20，22题；错位相减法：第19，20，21题等．试卷中第12，14，19，22各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列中，的值是（）A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】2．已知等比数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，解得，．故选D．13\n考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前项和公式．3．在等差数列中，首项公差，则项数n为（）A．13B．14C．15D．16【答案】D【解析】试题分析：等差数列的通项公式为，所以，解得．故选D．考点：等差数列的通项公式．4．已知数列的前项和，那么的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由得考点：数列求和与求通项5．设是由正数组成的等比数列，为其前n项和．已知，则等于（）A．40B．81C．121D．243【答案】C【解析】考点：等比数列的前项和．6．各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】试题分析：由等比数列中，与的等比中项为，所以，13\n又，故选B．考点：等比数列的性质及对数的运算．7．设等差数列的前n项和为，已知（）A．35B．30C．25D．15【答案】B【解析】考点：等差数列的性质．8．已知为等比数列，是它的前项和．若，且与2的等差中项为，则=（）A．29B．31C．33D．35【答案】B【解析】试题分析：用基本元的思想，根据题意有，解得，所以．考点：等比数列的通项公式与前项和公式．9．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小份为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】13\n考点：等差数列的性质10．已知数列，若点)在经过点的定直线上，则数列的前项和（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：因为点)在经过点的定直线上，所以数列是等差数列，且，则数列的前项和为；故选C．考点：等差数列．【技巧点睛】本题考查数列的判定、性质以及前项和公式的应用，属于中档题；解决本题有两个技巧：一是由点)在经过点的定直线上，得出数列是等差数列，且（因为等差数列的图象是分布在一条直线上的一些孤立的点）；二是利用等差数列的性质（若，则）求等差数列的前项和．11．已知等比数列各项都为正数，且为与的等差中项，则（）A．27B．21C．14D．以上都不对【答案】C【解析】试题分析：由题意得，选C．13\n考点：等比数列性质12．设是数列的前项和，且，则使取得最大值时的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为当且仅当时取等号，因为为自然数，所以根据函数的单调性可从与相邻的两个整数中求最大值，，，所以最大值为，此时，故本题正确选项为D．考点：数列的通项，重要不等式与数列的最值．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知数列为等差数列，，，则．【答案】2【解析】试题分析：因为数列为等差数列且，，所以；故填2．考点：等差数列的性质．14．设数列的前n项和为若且则的通项公式为．【答案】【解析】13\n考点：1．与的关系；2．等比数列．【易错点晴】本题考查的是数列中的由求，属于容易题．本题易错点为：的使用条件是，所以求出时，数列从第二项起时等比数列，必须验证当时是否成立；当时，表示的是以为首项，为公比的等比数列，此时，很多同学会误解为，从而出错．15．设是数列的前项和，，则．【答案】【解析】试题分析：时，，解得．时，，，整理可得，，是首相为1公比为的等比数列，．考点：1公式法求；2等比数列的定义；3等比数列的前项和．【方法点晴】本题主要考查的是数列公式的应用，属中档题．本题重点是应用将已知条件转化为与间的关系式，根据等比数列的定义证得为等比数列即可．13\n16．已知数列满足：，．若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】当时，由得，，综上．考点：数列的单调性．【名师点睛】本题考查数列的单调性．数列作为特殊的函数可以利用函数的性质来研究其单调性，但是数列与函数也有不同，就是数列作为函数时其定义域是或其子集，数列单调性也有其特殊的判断法，即由可判断其是递增的，由能判断其是递减的，而要求数列的最大项，可以通过解不等式组得出．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列的前项和为，，其中为常数．（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，使得数列为等差数列．【解析】13\n试题解析：（1）由题设，，两式相减得：，由于，所以．（2）由题设，可得．由（1）知，，令，解得，故，由此可得是首项为2，公差为2的等差数列，且，是首项为3，公差为2的等差数列，且，所以，因此存在，使得数列为等差数列．考点：1．等差数列的定义；2．公式的应用．18．等比数列的前项和为，已知成等差数列，且．（1）求的公比及通项公式；（2），求数列的前n项和．【答案】（1）；；（2）．【解析】试题分析：（1）根据数列是等比数列，成等差数列，可得，解得；又，解得；代入等比数列的通项公式，得；（2）由得，再利用叠加法求得数列的前n项和．（2），+…+n×（﹣2）n﹣1]，13\n﹣2Tn=[1×（﹣2）+2×（﹣2）2+3×（﹣2）3+…+n×（﹣2）n]，两式相减，得：3Tn=[1+（﹣2）+（﹣2）2+…+（﹣2）n﹣1﹣n×（﹣2）n]=[]，∴．考点：等差数列和等比数列的性质；等比数列的通项公式及求和公式的应用．19．已知数列是递增的等比数列，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由等比数列的性质得到关于的方程组，解出相应根，再根据等比数列的通项求得公比，即得等比数列的通项公式；（2）仿写表达式，两式项减即可得到数列的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和．试题解析：（Ⅰ）因为数列是递增的等比数列，且，所以，又，所以是方程的两根，且，解得，设数列的公比为，所以，所以，所以数列的通项公式为（Ⅱ）因为，①所以≥，②13\n所以，所以，所以数列的前项和为考点：1．等比数列；2．与的关系的应用；3．裂项抵消法．【易错点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质、类似．与的关系的应用以及裂项抵消法求和，属于中档题；在由数列的前项和求数列的通项时，往往要利用进行求解，但易忽视“当时的情形”导致错误，如本题中，所求的通项公式是，是一个分段函数．20．已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，，求成立的正整数的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意有：，代入13\n，得∴解之得或又∵单调递增，∴，，∴．（2），∴…①∴…②②-①得：由得，∴．又当时，，当时，故使成立的正整数的最小值为．考点：1、等比数列和等差数列的通项；2、错位相减法求数列的通项．【方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的通项，属于中档题．一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解，在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．21．设数列的前项和满足：，等比数列的前项和为，公比为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2），当时，易知13\n为递增数列，，即．【解析】前项和为，进而即可得出证明的结果．试题解析：（1），，因为，，即时，有，为等差数列，公差为4，首项为1．（2）当时，易知为递增数列，，即．考点：1、由数列递推公式求数列的通项公式；2、裂项相消法求和．【方法点睛】本题主要考查由数列递推公式求数列的通项公式和裂项相消法求和，考查学生对数列的基本概念和基本性质的应用，属中档题．其解题的关键有两点：其一是正确地利用递推公式求数列的通项公式，尤其主要首项的求解和验证；其二是合理地对通项进行变形并熟练地运用裂项求和法求出数列的前项和．22．设是等差数列的前n项和，其中，且，（Ⅰ）求常数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，设数列的前n项和为，求最小的正整数，使得对任意的，都有13\n成立．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4．【解析】结合单调性解不等式：当时，恒有，所以所求的最小正整数k为4．试题解析：（Ⅰ）由及得，所以，．（Ⅱ），用错位相减法求得，要使，即，记，则即单调递减，又易得故当时，恒有，所以所求的最小正整数k为4．考点：错位相减法，等差数列性质，利用数列单调性解不等式．13
