11月第三周立体几何测试二测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查空间点线面位置关系（特别是平行与垂直的判断与证明）、三视图、空间几何体面积与体积的计算、空间角与空间距离的计算等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-14及17-20题等；注重基本运算能力的考查，如第4-22题；注重空间想象能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重基本定理（判定定理、性质定理）及基本公式的熟记与理解；加强培养学生的基本运算能力，总结空间线线平行（垂直）、线面平行以（垂直）及面面平行（垂直）证明的常用方法．试卷中第1，2，6，7，12，16，19，22各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中正确的个数是（）①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】考点：多面体的特征．2．一个骰子由六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（）A．6B．3C．1D．2【答案】A【解析】19\n试题分析：根据与相邻的数是，而与相邻的数有，∴是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．考点：几何体的结构特征．3．以下命题（其中表示直线，表示平面）：①若，，则；②若，，则；③若，，则；其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】考点：直线、平面的位置关系．4．棱长为的正方体中，是侧面对角线上一点，若是菱形，则其在底面上投影的四边形面积（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：在棱长为的正方体中，，设，则，解得，即菱形的边长为，则在底面上的投影四边形是底边为，高为的平行四边形，其面积为，故选B．考点：平面图形的投影及其作法．5．若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．【答案】C19\n【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为，则该圆锥母线长为，则故选C．考点：空间几何体的表面积与体积．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：三视图求体积．7．在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，则过的平面截四棱锥所得截面面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】19\n试题分析：取中点，连接，根据三角形中位线的性质有．取的中点，取的中点，根据三角形中位线的性质有，∴共面，面积为．考点：立体几何．【思路点晴】本题主要考查立体几何点线面的位置关系，考查多点共面的证明方法，考查空间想象能力，考查动手能力．先画出题目给定的四棱锥，标出中点，并将三点连接起来，然后在几何体中平移到四棱锥的表面．利用中位线将平移到，由此可得．现将，然后将，经过以上步骤，就将平面扩展到几何体的表面了，进而得出截面．8．已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】面的距离为，由于为直角三角形，设斜边中点为，则面，在中，球的半径，∴球的表面积，选D．19\n考点：1．正弦定理；2．三棱锥体积公式；3．球表面积公式．【思路点晴】本题主要考查了空间思维能力，空间几何体性质等，属于中档题．本题先利用解三角形判断三角形的形状，求出，算出三角形的面积，由棱锥的体积，求出球心到平面的距离．斜边中点也是三角形的外接圆圆心，∴面，再在中，求出球的半径，再算出表面积．9．在中，，若使绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】19\n考点：旋转体的体积．10．一圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为，则该圆锥母线长为，，．故选C．考点：空间几何体的表面积与体积．11．四面体中，截面是正方形，则在下列结论中，下列说法错误的是（）A．B．C．D．异面直线与所成的角为【答案】B【解析】为，∴D正确；由上面可知，∴，而，∴，∴B是错误的，故选B．考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键．12．在中，已知是斜边上任意一点（如图①），沿直线将折成直二面角（如图②）．若折叠后两点间的距离为，则下列说法正确的是（）19\nA．当为的中线时，取得最小值B．当为的角平分线线时，取得最小值C．当为的高线时，取得最小值D．当在的斜边上移动时，为定值【答案】B【解析】当，即当为的角平分线时，取得最小值．考点：空间位置关系与距离二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】19\n．考点：异面直线所成的角．14．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝_．【答案】2；【解析】试题分析：设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，∴AC1与下底面所成角为∠C1AC，记为α，∴cos2α＝，同理cos2β＝，cos2γ＝，∴cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2．考点：长方体性质15．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．【答案】24π【解析】19\n考点：球的表面积和体积【名师点睛】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．解题时先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥的高，再利用直角三角形求出正四棱锥的侧棱长，最后根据球的表面积公式计算即得．16．已知平行六面体，与平面，交于两点．给出以下命题，其中真命题有______(写出所有正确命题的序号)①点为线段的两个三等分点；②；③设中点为，的中点为，则直线与面有一个交点；④为的内心；⑤若，则三棱锥为正三棱锥，且．【答案】①⑤19\n【解析】②③再取A1B1的中点K，连接KM，KN，由面面平行的判定定理可得：面KMN∥面A1BD，∴直线MN∥面A1BD，∴直线MN与面A1DB没有交点，故③错；④由①得A1E=2EH，∴E为△A1BD的重心，故④错；⑤∵∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°，且AA1=AB=AD=1，∴三角形A1BD为等边三角形，即三棱锥A1-ABD为正三棱锥考点：1．平行六面体性质；2．空间向量加减法；2．向量数量积，模的计算三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】19\n试题解析：（1）（2）连接，由条件知，∴就是异面直线与所成的角．在中，，∴，∴异面直线与所成的角为．考点：1、三棱锥的体积；2、异面直线所成的角；3、等积法．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）分别是的中点，故，由线面平行的判定定理得平面；（2）先证，又∵平面平面，根据面面垂直的性质定理，得平面，再根据面面垂直的判定定理得平面平面；（3）利用等体积法把三棱锥的体积转化为三棱锥的体积．试题解析：（1）∵分别是的中点，∴．又∵平面，∴19\n平面．（2）∵，为的中点，∴，又∵平面平面，且平面，∴平面．∴平面平面．考点：1、空间点线面的位置关系；2、棱锥的体积公式；3、等体积法．19．（本小题满分12分）如图（1）所示，在直角梯形中，，，，，分别为线段的中点，现将△折起，使平面⊥平面（图（2））．（1）求证：平面∥平面；（2）若点是线段的中点，求证：⊥平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】19\n试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．解：连接，∵分别是的中点，∴，又，∴．∵平面⊥平面，，∴⊥平面，∴，又，，∴⊥平面，∴．在△中，，是的中点，∴，∵，∴⊥平面，即⊥平面．（3）．考点：1、平面与平面平行的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、三棱锥的体积．20．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且，当取何值时，直线AE与BF所成角的大小为？【解析】（1）过E作EG∥BC交FC于G，连结DG，∵BE∥CF，∴四边形BCGE是平行四边形，因此EG∥BC∥AD，--------------------------2分且EG=BC=AD，∴四边形ADGE也是平行四边形，于是AE∥DG．又AE平面DCF，DG平面DCF，故AE∥平面DCF．---------------------------5分19\n（2）过E作GE⊥CF交CF于G，由已知EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，∴EG=AD＝，又EF=2，∴GF=1．∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥BC．∵∠BCF=， ∴FC⊥BC，又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，于是FC⊥平面AC，∴FC⊥CD．分别以CB、CD、CF为轴建立空间直角坐标系．---------------------------7分由，得AB=．∴A（，，0），，E(，0，)，F(0，0，)，，∴=(0，，)，．------------------------9分依题意有，19\n即，解得．----------------------------11分故当时，直线AE与BF所成角的大小为．----------------------------12分21．（本小题满分12分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】求出二面角的余弦值；（3）在（2）的基础上，求出的坐标，利用向量的夹角公式即可求出直线与平面所成角的余弦值．试题解析：（1）证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，，又平面以19\nC为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意可得以下点的坐标：∴，，，为平面CDE的一个法向量．又，且．（1）设平面ADE的法向量为，由于，∴，令得，，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则∴平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为．值为．考点：空间向量在证明空间线面平行及求解线面角、二面角中的应用．【方法点睛】在求解空间角时，空间向量是一种非常简单、实用的方法，首先要在几何体中建立空间的基底即寻找两两垂直的三条直线，建立合理的坐标系，也就是尽可能把几何体的顶点放在坐标轴或坐标平面内，这样可以简化运算过程，提高运算的准确率．利用向量证明线面平行需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但一定要说明直线不在平面内，这一一个易错点；求解二面角就是求出两个平面的法向量的夹角，当题目没有说明二面角是锐角还是钝角时，要结合几何体的结构特征来判断；求解线面角就是直线时，线面角与直线方向向量与平面法向量所夹的锐角是互余关系，∴19\n直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值是线面角的正弦值，应结合图形分析清楚，否则极易出错．22．（本小题满分12分）正的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E-DF-C的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由．【答案】（1）平行（2）（3）靠近B的三等分点【解析】求二面角为锐角得结论（3）确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系．要求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可设，再转化条件为，解得，即可确定P位置．试题解析：（1）如图，在中，由E、F分别是AC、BC中点，得，又平面DEF，平面DEF，∴平面DEF．19\n（2）由题知，，平面平面BDC，且交线为DC，∴平面BDC，∴，，又已知，∴两两垂直，以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，取，，∴二面角E-DF-C的余弦值为．（3）设，则，∴，又，，∵，∴，∴，把代入上式得，∴，∴在线段BC上存在点，即靠近B的三等分点，使．考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角、确定点的位置19\n【名师点睛】判断或证明线面平行的常用方法有：（1）利用线面平行的定义（无公共点）；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）19
