10月第二周三角函数与平面向量测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查任意角的三角函数的定义、三角函数公式、三角函数的图像及其性质、三角恒等变换、解三角形、平面向量基本概念、基本运算、基本定理及基本公式的应用等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等．讲评建议：评讲试卷时应注重对三角函数的图像及其性质的理解；关注基本运算能力的培养；加强三角恒等变换、平面向量的数量积的应用、平面向量基本定理的应用等．试卷中第8，11，12，16，20，21各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各式不能化简为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】2．已知是第二象限角，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：设的终边上一点，所以有，故根据三角函数定义式，可以求得，故选C．考点：三角函数的定义式．3．函数的图象（）A．关于对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于对称【答案】A12\n【解析】考点：1．三角函数的诱导公式；2．三角函数的图象和性质．4．如图，在中，，是边一点，，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，故选A．考点：1、向量的运算；2、向量的数量积．【思路点睛】由，由向量加法的平行四边形法则知，必为以为邻边的平行四边形的对角线，故有三点共线，由平行四边形对角线的性质易得为边的中点，从而可得的值．本题考查向量加法的几何意义，由向量的关系得到几何图形中的位置关系，向量关系表示几何关系是向量的重要应用，属于基础题．5．已知，则点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】12\n试题，，所以应在第四象限．考点：倍角公式的应用．6．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】考点：1．三角函数的恒等变形．2．三角函数的图象的平移．7．设向量满足，，则=（）A．1B．2C．3D．5【答案】A．【解析】试题分析：因为，，所以，，两式子相减可得，，所以，故应选A．考点：向量的模；向量的数量积．8．已知在△ABC中，向量与满足，且，则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形【答案】D【解析】试题分析：因为，所以的平分线与12\n垂直，三角形是等腰三角形，又因为，所以，所以三角形是正三角形，故选D．考点：三角形形状的判定．9．函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像（）（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位【答案】D【解析】考点：三角函数图象．10．设向量满足，则的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】试题分析：首先根据所给向量满足的条件，求其模方的最值然后根据函数的单调性求得最值；，．12\n考点：平面向量的数量积；11．已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】考点：三角变换及灵活运用．【易错点晴】三角变换是高中新教材中的重要内容之一，也是高考及各类考试的重要考点．解答这类问题时，首先要搞清角之间的关系，再选择运用所学的三角变换的公式．本题解答时，通过仔细的观察后能够发现是解答好本题的关键，也是能否解答好本题的切入点．从问题的求解过程中可以总结的规律是三角变换的精髓是变角．这也是解答三角变换题的经验和总结．12．已知，满足，，，则在区间上的最大值与最小值之和为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由题可知周期，当，，，即，此时无解；同理当时可求得，所以，，所以，则最大值与最小值的和为．考点：三角函数的周期，初相，最值．二、填空题（每题5分，满分20分）13．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．12\n【答案】．【解析】考点：两角和与差的正弦函数．14．已知非零向量满足，则与的夹角．【答案】【解析】试题分析：设，，由已知是等边三角形，是的平分线，因此．考点：向量的加法与夹角．15．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与y轴交于P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω＝________．【答案】【解析】令x＝0，得y＝1，即点P(0，1)，又S△PAB＝·|AB|·|OP|＝π，|AB|＝2π，∴f(x)的周期T＝2|AB|＝4π，∴ω＝＝．16．为的边上一点，，过点的直线分别交直线于，若，其中，则________．【答案】3【解析】试题分析：∵，∴，又由得，∵三点共线，∴，即12\n．考点：平面向量的线性表示，三点共线．【名师点睛】(1)共线向量定理及其应用：①可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．②若，不共线，则的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论是解决求参数问题的重要依据．(2)若＝λ，则A，B，C三点共线．(3)P在直线AB外，若＝λ＋μ，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知向量．（I）若为直角三角形，且为直角，求实数的值．（II）若点能构成三角形，求实数应满足的条件．【答案】（I）；（II）．【解析】（II）若点能构成三角形，则不共线，∴，∴实数应满足的条件是．考点：向量数量积的坐标表示【方法点睛】本题考查了数量积的坐标表示，属于基础题型，当两非零向量，，，时，等价于，经常将三点共线转化为向量共线，若三点不共线，即与不共线，即．18．（本小题满分12分）已知．12\n（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）若[，]时，求的值域．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】求．（Ⅲ）由的范围可求得整体角的范围，根据正弦函数图像可求得的范围，从而可求得的范围．试题解析：（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）由，得，，函数的单调增区间为（Ⅲ）因为，，，考点：三角函数的化简，周期，单调性，最值．19．（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．12\n【答案】（Ⅰ）最小正周期为；单调减区间是，（Ⅱ）【解析】试题解析：（Ⅰ）所以函数的最小正周期为．由，可解得所以单调减区间是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得因为，所以所以，因此，即的取值范围为．考点：正弦函数的性质．20．已知函数的周期为，，且的最大值为．（I）写出的表达式；（II）写出函数的对称中心，对称轴方程．【答案】（I）；（II）对称中心是；对称轴方程是：12\n．【解析】即可．试题解析：（I）由周期为得；又最大值为，则．从而，又，所以，即，因为，所以，所以函数解析式为；（II）由，令解得，所以对称中心为：；令解得：，所以对称轴方程为：；考点：1．三角函数解析式的确定；2．三角函数的对称轴和对称中心．【易错点睛】本题主要考查的是三角函数解析式的确定和三角函数的对称轴方程和对称中心，属于容易题．本题由两个易错点：第一，在确定解析式的过程中一定注意角的范围；第二，在确定对称中心和对称轴方程过程中容易弄反，另外在确定对称中心的过程中解出后，在写对称中心时容易写成，从而出错．21．设向量，其中．（I）求的取值范围；（II）若函数的大小．12\n【答案】（I）；（II）．【解析】，∴，∵，∴，∴，∴考点：向量和余弦函数的图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题将向量和函数及三角函数等知识有机整合在一起，重点考查学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力．第一问求解时充分借助题设条件，先运用向量的数量积公式算出，将然后再依据题设，推出，从而推测的取值范围是．第二问的求解运用函数的对应意识算出中，进而通过确定间而比较出与的大小，体现了数学中的转化与化归的数学思想．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，求（Ⅰ）动点的轨迹；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）动点的轨迹为以点为圆心的单位圆；（Ⅱ）．【解析】12\n试题解析：（Ⅰ）设，由及知，即动点的轨迹为以点为圆心的单位圆．（Ⅱ）因为，所以，于是问题转化为圆上的点与点间距离的最大值．因为圆心与点之间的距离为，故的最大值为．考点：1、平面向量的概念及其应用；2、圆的标准方程．【方法点睛】本题主要考查了平面向量的概念及其应用和圆的标准方程，属中档题．其解题的一般思路为：对于第一问，设出所求点的坐标，运用平面向量模的概念可得出所求的点的轨迹方程即可；对于第二问，首先运用平面向量的坐标运算和平面向量模的概念可表达出，然后将问题转化为圆上的点与点间距离的最大值，由点与圆的位置关系即可得出所求的结果．12
