专题049月第一次周考（第二章函数、导数及其应用测试2-基本初等函数I）测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查指数函数、对数函数、幂函数图象及其性质．在命题时，注重考查基础知识如第1-6，13-14及17-19题等，为容易题，分值约占49%；第8-10，15及20题为中档题，分值约占25%；第11，12，16，21及22题为较难题，分值约占26%．讲评建议：评讲试卷时应注重对函数概念、函数性质特别是二次函数、指对幂函数等性质的理解，如第1，2，5，7，8，9，10，12等题．注意培养学生的数形结合思想和整体思想以及转化与化归思想，如2，3，6，8，10，12，13，16等题．试卷中第9，10，12，18，20，22各题易错，评讲时应重视．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，与函数有相同定义域的是()A.B．C．D．【答案】A考点：函数的定义域.2．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对称轴，故选A．考点：函数的单调性．3．函数的图象与函数的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】B14\n【解析】由下图可得交点个数为个．考点：函数的图象．4．若函数为奇函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A考点：奇函数的性质．5．若点在函数的图象上，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】由已知可得，故选D．考点：1、对数函数；2、正切函数．6．若当时，函数（且）满足，则函数的图象大致为（）14\n【答案】C【解析】由函数（且）满足，故的图象应是C图，故选C．考点：函数的图象．7．下列函数中，既是奇函数又上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A、C在区间非单调函数，选项D为非奇非偶函数，故选B．考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性．8．设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D考点：对数的大小比较．9．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域为，在为减函数，则在为增函数，故选D．考点：复合函数的单调性．【方法点晴】本题考查复合函数的单调性，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、换元思想、转化化归思想，具有一定的综合性和灵活性，属于中等题型．首先先求出函数的定义域为，再由换元思想得在为减函数，再利用复合函数的单调性可得在为增函数，从而求得正解．14\n10．设函数则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C考点：函数的解析式．【方法点晴】本题考查导函数的解析式，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先取不成立，排除B；再取成立，排除D；取成立，排除A，从而可得正解．11．已知函数则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是增函数C．是周期函数D．的值域为【答案】D【解析】当时，当时，综上故选D．考点：函数的值域．12．设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A14\n∴的图象与函数的图象的交点必定在直线上，由此可得，的图象与直线有交点，且交点横坐标，根据，化简整理得，记，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即实数的取值范围为，故选：A．考点：函数的性质．【方法点晴】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在使成立的情况下，求参数的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于较难题型．根据题意，问题转化为“存在，使”，即的图象与函数的图象有交点，且交点的横坐标．由的图象与的图象关于直线对称，得到函数图象与有交点，且交点横坐标．因此，将方程化简整理得，记，由零点存在性定理建立关于的不等式组，解之即可得到实数的取值范围．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分）13．函数的定义域为．【答案】14\n【解析】要使原函数有意义需．考点：函数的定义域．14．已知对任意的，函数值总大于0，则的取值范围是．【答案】或【解析】设．考点：函数与不等式．15．若函数为偶函数，则．【答案】考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．16．若函数的图象关于直线对称，则的最大值为．【答案】【解析】∵函数的图象关于直线对称，∴将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象关于对称，可得是偶函数，设，∵，∴．因此，,令，得14\n列表如下：因此．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的对称性；3、函数的最值．【方法点晴】本题考查函数的奇偶性、函数的对称性、函数的最值，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、数形结合思想、分类讨论的思想与转化思想．先利用数形结合思想将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象关于对称，从而可得是偶函数，再利用偶函数求得,然后再利用导数工具求得的最大值．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知二次函数满足，且．（I）求的解析式；（II）若时，恒成立，求实数的取值集合．【答案】（I）；（II）．试题解析：（I）设，，，，，，．（II）∵时，，设，即恒成立，令14\n，则由得，故实数的取值范围为．考点：二次函数的性质．18．已知函数．（I）若，求的值；（II）若对于恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）．考点：函数的性质．19．若函数，且，．（I）求的最小值及对应的值；（II）取何值时，，且．【答案】（I）当时，有最小值；（II）．【解析】14\n考点：函数与不等式．20．已知函数是偶函数，为实常数．（I）求的值；（II）当时，是否存在，使得函数在区间上的函数值组成的集合也是，若存在，求出，的值；否则，说明理由．【答案】（I）；（II）不存在．【解析】试题分析：（I）由已知可得的定义域为．又是偶函数故定义域关于原点对称；（II）由（I）可知,,观察函数的图象在区间上是增函数在区间上是增函数14\n方程，也就是有两个不相等的正根．又此方程无解不存在正实数，满足题意．试题解析：（I）由已知可得的定义域为．又是偶函数，故定义域关于原点对称，于是，．考点：函数的性质．21．设函数．14\n（I）在区间上画出函数的图象；（II）设集合，．试判断集合和之间的关系，并给出证明；（III）当时，求证：在区间上，的图象位于函数图象的上方．【答案】（I）图象见解析；（II），证明见解析；（III）证明见解析．14\n（II）方程的解分别是，和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此，由于，，．（III）当时，，，，，又，①当，即时，取，．∵，，则；②当，即时，取，．由①②知，当时，，．14\n因此，在区间上，的图象位于函数图象的上方．考点：函数的图象与性质．【方法点晴】本题考查导函数的图象与性质、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想与转化思想．第二小题先求出方程的解，再利用数形结合思想，观察函数图象可得；第三小题利用转化思想，将命题转化为证明在区间上恒成立．22．（本小题满分12分）已知函数对且有恒成立，函数的图象关于点成中心对称图形．（I）判断函数在上的单调性、奇偶性，并说明理由；（II）解不等式；（III）已知函数是，，中的某一个，令，求函数在上的最小值．（II）由（I）知函数是上的奇函数，∴，∴不等式等价于，又∵是上的减函数，∴，整理得，解得或，∴不等式的解集为．14\n14
