专题059月第二次周考（第二章函数、导数及其应用测试3-单元测试）测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查函数的概念及其性质，导数的代数意义、几何意义、导数的运算及其应用等．在命题时，注重考查基础知识如第1-6，13-14及17-19题等，为容易题，分值约占49%；第8-10，15及20题为中档题，分值约占25%；第11，12，16，21及22题为较难题，分值约占26%．讲评建议：评讲试卷时应注重对函数概念、函数性质特别是指对幂函数性质的理解，如第2，3，5，8，10，12等题．注意培养学生的数形结合思想和整体思想以及转化与化归思想，如7，9，11，13，18，22题等．试卷中第7，10，16，18，20，22各题易错，评讲时应重视．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．定义域为的四个函数，，，中，奇函数的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】只有,是奇函数，故选C．考点：函数的奇偶性．2．下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与．A．①②B．①③C．③④D．①④【答案】C③与的定义域是{x：x≠0}，并且g（x）=1，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；13\n④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．是同一函数．故C正确．3．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）－101230．3712．727．3920．0912345A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C4．如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的对称轴为，所以二次函数的单调递减区间为，又函数在区间上单调递减，所以，故选A．考点：二次函数的性质．5．若,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,故选A．6．下列函数中，在上为增函数的是（）13\nA．B．C．D．【答案】D7．已知实数a=1.70.3,b=0.90.1,c=log25,d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（）A．c>a>b>dB．a>b>c>dC．c>b>a>dD．c>a>d>b【答案】A【解析】试题分析：1<a=1.70.3<2,0<b=0.90.1<1,c=log25>2,d=log0.31.8<0，所以c>a>b>d．考点：比较大小．8．若定义运算，则函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,当;当,所以值域为．9．函数fx=xex-e-x的图像大致是（）【答案】A【解析】由题意知，函数fx的定义域为-∞，0∪0，+∞，∵f-x=-xe-x-ex=xex-e-x=fx，∴函数fx是偶函数，排除C、D;又f1=1e-e-1>0，排除B,故选A．10．定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)=ex+x3+ln(x2+1)，且f(x+t)>f(x)在x∈(-1,+∞)上恒成立，则关于x的方程f(2x+1)=t的根的个数叙述正确的是（）13\nA．有两个B．有一个C．没有D．上述情况都有可能【答案】A【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法．11．已知f（x）为定义在(0,+∞)上的可导函数,且f(x)>xf'(x)恒成立,则不等式x2f(1x)-f(x)>0的解集为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(1,+∞)D．(2,+∞)【答案】C【解析】试题分析：令F（x）=f(x)x，则F'（x）=xf'(x)-f(x)x2，∵f（x）＞xf'（x），∴F'（x）＜0，∴F（x）=f(x)x为定义域上的减函数，由不等式x2f(1x)-f(x)>0得：f(1x)1x＞f(x)x∵1x<x∴x＞1考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，属中档题．解题时要确定函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减12．已知a∈R，若f(x)=(x+ax)ex在区间（0,1）上有且只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a>0B．a≤1C．a>1D．a≤0【答案】A【解析】试题分析：当a=0时，f(x)=xex,f'(x)=(1+x)ex，在(0,1)上单调递增，没有极值点，故排除B，D选项．当a=1时，f(x)=(x+1x)ex,f'(x)=(1+x+1x-1x2)ex=x3+x2+x-1x2ex，令g(x)=x3+x2+x-1，g'(x)=3x2+x+1>0，故函数单调递增，且g(0)=-1,g(1)=2,g(0)⋅g(2)<0，所以(0,1)上g(x)有零点且左边小于零，右边大于零，即f(x)有极值点且仅有1个，故a=113\n符合题意，排除C选项，选A．考点：导数与极值点．【思路点晴】本题主要考查导数与极值点个数的问题．小题可以采用排除法，即观察选项后，代入a=0,a=1两个特殊值，然后利用极值点的概念，用导数来验证和排除选项．通常来说，解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错．解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（I）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（II）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．第II卷二、填空题（每题5分，满分20分）13．函数的定义域为_________．【答案】考点：函数定义域14．计算：=．【答案】【解析】．15．设函数fx=x-cosx，则y=fx在点P0，-1处的切线方程为__________．【答案】x-y-1=0【解析】由题意知，f'x=1+sinx，则切线的斜率k=f'0=1，∴切线的方程为y-(-1)=x-0，即x-y-1=0．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0)．若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x0．16．已知定义在R上的奇函数fx，设其导函数为f'x，当x∈-∞,0时，恒有xf'x<f-x，令13\nFx=xfx，则满足F3>F2x-1的实数x的取值集合是__________．【答案】-1,2点睛：解答本题的关键是构造函数Fx=xfx，然后再研究并求函数的导数，确定其单调性，进而运用定义断定其奇偶性是偶函数，最后再借助单调性将不等式F3>F2x-1进行等价转化为|2x-1|<3⇒-1<x<2，从而使得问题获解．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设函数．（I）确定函数f(x)的定义域；（II）证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数．【答案】（I）R；（II）答案见解析．【解析】（I）由得x∈R，定义域为R．…………2分（II）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则．令，则．===∵x1－x2＜0，，，，∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴，…………12分∴f(x1)－f(x2)＜lg1=0，即f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)在R上是单调增函数13\n18．（本小题满分12分）已知函数（I）讨论当a>0时，函数的单调性；（II）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．【答案】（II）由（I）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值，且函数在处分别取得极值因为线段AB与x轴有公共点，所以，19．（本小题满分12分）已知函数（I）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明；（II）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（I）函数在上的单调递增．（II）实数的取值范围13\n(2）先由,得到，然后利用在上的单调递增，得到，只需，利用子集的性质得到的取值范围．试题解析：（I）函数在上的单调递增1分证明如下：设，则2分，，，即，2分函数在上的单调递增．1分（II）由（I）知，当时，，1分，在上的单调递增，时，1分依题意，只需2分，解得，即实数的取值范围2分考点：1、函数的单调性的定义；2、一次函数求值域；3、利用子集的性质．20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx，g(x)=ex．13\n（I）若函数φ(x)=f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；（II）设直线l为函数y＝f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．注：e为自然对数的底数．【答案】（II）∵，∴，∴切线的方程为,即, ①（6分）设直线与曲线相切于点，∵，∴，∴．（8分）∴直线也为，即，②（9分）由①②得，∴．（11分）下证：在区间（1，+）上存在且唯一．由（I）可知，在区间上递增．又，，(13分)13\n结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．故结论成立．21．（本小题满分12分）已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为．（I）确定的值；（II）若，判断的单调性；（III）若有极值，求的取值范围．【答案】（I）；（II）增函数；（III）．解：（I）对求导得，由为偶函数，知，即，因，所以又，故．（II）当时，，那么故在上为增函数．13\n考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想．21．已知函数．（）（Ⅰ）若在区间上单调递减，求实数的取值范围；（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围．【答案】【解析】（Ⅰ）在区间上单调递减，则在区间上恒成立．即，而当时，，故．所以．（Ⅱ）令，定义域为．在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立．∵①若，令，得极值点，，当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；13\n当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；22．已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．（I）求的值；（II）求的单调区间；（III）设，其中为的导函数．证明：对任意，．【答案】（I）；（II）单调递增区间是，单调递减区间是；（III）证明见解析．【解析】试题分析：（I）求导可得；（II）由（I）知，．设,再利用导数工具进行求解；（III）由（II）可知，当时，，故只需证明在时成立,再利用导数工具进行证明．试题解析：（I），由已知，，．（II）由（I）知，．设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，13\n当时，从而，综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．考点：1、函数的导数；2、单调性；3、不等式的证明．【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想．利用导数处理不等式问题．在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题．常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用．13
