专题028月第一次周考（第一章集合与常用逻辑用语）测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查集合的运算、命题及真假性的判断、充要条件等。在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第10题考查分段函数的值域、全称量词与存在量词、恒成立问题、简单不等式的解法等知识点；注重数形结合能力和运算能力的考查，如第1，3，6，8，9，10，12，14，15，18，20题等。讲评建议：评讲试卷时应注重对集合的理解、元素与集合的关系，常用的解法有列举法（如第1题）、图解法（如第9，10题等）以及语言转换法（如20题）。判断充分条件、必要条件等可以灵活采用定义法（如第12题）、命题真假、集合的包含关系以及等价转换法（如20题）等。试卷中第11，12，17，19，21各题易错，评讲时应重视。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|x≥2},N={x|x2-6x+5<0}，则M∩N=（）A．(1,5)B．[2,5)C．(1,2]D．[2,+∞)【答案】B【解析】由题意得，x2-6x+5<0⇒1<x<5，则2≤x<5，故选B．2．设全集，集合，则的子集的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A3．若，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得x⩾2或x⩽0，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．12\n4．设命题：“，”，则为（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由题意得，命题：“，”，则为，，故选A．5．已知全集，，，则集合（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故选D．6．集合，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B7．下列四个结论中正确的个数是（）①若am2<bm2，则a<b②已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1，若变量y与z正相关，则x与z负相关③“已知直线m，n和平面α、β，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β”为真命题④m=3是直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①am2<bm2不等两边同时除以m2(m2>0)，得a<b．所以①对．②因为a=-0.1<0，所以②对．③选择正方体，上下底面为α、β，m为垂直下底面的的棱，n为选两垂直棱中点的线，显然条件成立，但是不能推出α⊥β．所以③错．12\n④由再直线垂直，可知m(m+3)-6m=0，可得m=0或m=3．所以④错．选B．8．已知命题p:x2+2x-3＞0，命题q:x＞a，若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是（）A．[1,+∞)B．(-∞,1]C．[-1,+∞)D．(-∞,-3]【答案】A【解析】将x2+2x-3＞0化为x-1x+3>0，即p:x>1或x<-3，因为¬q的一个充分不必要条件是¬p，所以p的一个充分不必要条件是q，则(a,+∞)⊂(-∞,-3)∪(1,+∞)，故选A．【名师点睛】处理与逻辑联结词、四种条件有关的问题时，要注意等价转化：一是利用“命题的逆否命题与原命题等价”进行转化，二是利用数集间的关系进行转化．9．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列命题中：①若，则有；②到原点的“折线距离”等于的所有点的集合是一个圆；③若点在线段上，则有；④到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线．真命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】C10．已知定义在上的函数满足，且当时，，对，使得，则实数的取值范围为（）12\nA．B．C．D．【答案】D【名师点睛】本题主要考查了分段函数的值域，自己问题以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是近年来考试的热点，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”、“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位．11．函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”．下列结论错误的是A．函数（）存在级“理想区间”B．函数不存在级“理想区间”C．函数存在级“理想区间”12\nD．函数不存在级“理想区间”【答案】D12．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题：“，且，”是命题：“，”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【答案】B【解析】构造函数，则，所以，但，所以命题P不能推出命题Q；由导数的定义，，所以当有，故命题不能推出命题，是的必要不充分条件，故选B．【名师点睛】本题主要考查了充分必要条件，涉及导数的定义与曲线上割线的斜率，属于中档题．注意当判断命题为假时，可以举出反例．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12\n13．已知集合，，则集合中元素的个数为【答案】【解析】因为，所以元素的个数为．14．函数y=-x2-2x+8的定义域为A，值域为B，则____________．【答案】．【解析】A={x|-x2-2x+8≥0}=[-4,2],B={y|y=9-(x+1)2}=[0,3]，．15．设，集合，若，则_________．【答案】1或216．给出下列命题：①已知都是正数，且，则；②已知是的导函数，若，则一定成立；③命题“使得”的否定是真命题；④且是“”的充要条件；⑤若实数，，则满足的概率为，其中正确的命题的序号是______________（把你认为正确的序号都填上）【答案】①③⑤【解析】①已知都是正数，，，则正确；②若是是常数函数，则不成立，③命题“使得”是假命题，则它的的否定是真命题；④且“”，反之不成立，则且是“”的充分不必要条件；⑤若实数，，则满足的概率为正确．故正确的命题序号为①③⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12\n17．（本小题满分10分）函数的定义域为集合，的值域为集合，．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）求、．【答案】（I），（II）=18．（本小题满分12分）命题p:；命题q:；（Ⅰ）若p为真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）若p为真命题是q为真命题的充分条件，求的取值范围．【答案】（I）；（II）12\n19．（本小题满分12分）设集合（I）若，求实数的值；（II）若，求实数的取值范围【答案】（I）或；（II）．【解析】试题分析：（I）因为，并且，所以，所以，从而求出a的值，然后再一一验证是否满足；（II）因为，所以可得，然后再讨论和两种情况，从方程的角度研究就是当时无实数根；时，有一个实数根和有两个实根两种情况．试题解析：（I）有题可知：．∵，∴，将2代入集合B中得：12\n20．（本小题满分12分）已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的方程有解．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【答案】．【解析】试题分析：命题p：函数在上单调递增，利用一次函数的单调性可得或；命题q：关于x的方程有实根，可得，解得；若“p或q”为真，“p且q”为假，可得p与q必然一真一假．分类讨论解出即可．12\n试题解析：由已知得，在上单调递增．若为真命题，则，，或；若为真命题，，，．为真命题，为假命题，、一真一假，当真假时，或，即；当假真时，，即．综上所述：．【名师点睛】本题考查了一次函数的单调性、一元二次方程由实数根与判别式的关系、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．21．（本小题满分12分）设函数的定义域为集合，已知集合，，全集为．（I）求；（II）若，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）．12\n22．（本小题满分12分）已知集合，对于集合的两个非空子集，，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”)．（I）写出，，的值；（II）求．【答案】（I），，．（II）．12\n解法二：任意一个元素只能在集合，，之一中，则这个元素在集合，，中，共有种；其中为空集的种数为，为空集的种数为，所以，均为非空子集的种数为，又与为同一组“互斥子集”，12
