专题能力训练17 复数与计数原理(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设有下面四个命题p1:若复数z满足R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则R.其中的真命题为( ) A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.复数=( )ABC.-D.-3.(2022浙江湖州菱湖中学期中)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球4.(2-)8展开式中含x3项的系数为( )A.112x3B.-1120x3C.112D.11205.设z是复数,|z-i|≤2(i是虚数单位),则|z|的最大值是( )A.1B.2C.3D.46.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( )A.50B.80C.120D.1407展开式中,各项系数之和为3,则展开式中的常数项为( )A.-120B.-80C.80D.1208.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.把复数z的共轭复数记作,若(1+i)z=1-i,i为虚数单位,则= . 10.已知复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a= . 11的展开式中的常数项为 . 12.4\n安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有 种,学生甲被单独安排去金华的概率是 . 13.(2022浙江绍兴一模)将3个男同学和3个女同学排成一列,若男同学甲与另外两个男同学不相邻,则不同的排法种数为 .(用具体的数字作答) 14.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是 . 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知复数z=(1)求|z|;(2)若z(z+a)=b+i,求实数a,b的值.16.(本小题满分15分)已知的展开式的前三项的系数成等差数列.(1)求的展开式中所有的有理项;(2)求的展开式中系数的绝对值最大的项.参考答案专题能力训练17 复数与计数原理1.B 解析p1:设z=a+bi(a,b∈R),则∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;4\np4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.B 解析i,故选B.3.D 解析从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,不同的取球情况共有以下几种:3个球全是红球;2个红球,1个白球;1个红球,2个白球;3个球全是白球.选项A中,事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件;选项B中,事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件;选项C中,事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球,1个白球”与“1个红球,2个白球”;选项D中,事件“恰有一个红球”与事件“恰有两个红球”互斥不对立.故选D.4.C 解析含x3项的系数为(-1)6·22=112.5.C 解析∵|z-i|≤2,∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心,以2为半径的圆及其内部.∴|z|的最大值为3.6.B 解析根据题意,分2种情况讨论:①甲组有2人,首先选2个放到甲组,共有=10种结果,再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有=6种结果,∴根据分步计数原理知共有10×6=60;②当甲中有三个人时,有=20种结果,∴共有60+20=80种结果.7.D 解析展开式中,各项系数之和为3,∴x=1时,1+a=3,∴a=2..∵的通项为25-rx5-2r(-1)r,故展开式中x的一次项为80x,x的-1次项为-40x-1,分别与x,相乘得展开式中的常数项为160-40=120.8.B 解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.9.i 解析∵复数z的共轭复数记作,(1+i)z=1-i,i为虚数单位,∴z==-i,∴=i.10.-2 解析i,∴=0,∴a=-2.11.-20 解析,其展开式的通项为Tr+1=·()6-r·=·(-1)r·()6-2r,4\n令6-2r=0,得r=3,所以常数项为T4=·(-1)3=-20.12.150 解析根据题意,按五名同学分组的不同分2种情况讨论:①五人分为2,2,1的三组,有=15种分组方法,对应三项志愿者活动,有15×=90种安排方案;②五人分为3,1,1的三组,有=10种分组方法,对应三项志愿者活动,有10×=60种安排方案,则共有90+60=150种不同的安排方案;学生甲被单独安排去金华时,共有=14种不同的安排方案,则学生甲被单独安排去金华的概率是.13.288 解析根据题意,分2种情况讨论:①3个男同学均不相邻,将三名女同学全排列,有=6种排法,排好后有4个空位,在4个空位中,任选3个,安排3个男同学,有=24种安排方法,此时共有6×24=144种不同的排法;②另外两个男同学相邻,将这两个男同学看成一个整体,考虑2人的顺序,有=2种情况,将三名女同学全排列,有=6种排法,排好后有4个空位,在4个空位中,任选2个,安排甲和这2个男同学,有=12种安排方法,此时共有2×6×12=144种不同的排法;则共有144+144=288种不同的排法.14.-121 解析(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8=,(1-x)5中x4的系数为=5,-(1-x)9中x4的系数为-=-126,-126+5=-121.15.解(1)∵z==3-i,∴|z|=.(2)∵(3-i)(3-i+a)=(3-i)2+(3-i)a=8+3a-(a+6)i=b+i,∴16.解(1)由题意知T1=)n,系数T'1=1;T2=)n-1,系数T'2=n;T3=)n-2,系数T'3=.因为T'1,T'2,T'3成等差数列,所以2T'2=T'1+T'3,即n=1+,得n=8.将式子展开,则有理项有T1=x4,T4=x,T9=x-2.(2)的展开式中系数的绝对值最大的项为T6=)3=-1792,同理T7=1792x-11.故所求系数的绝对值最大的项为T6和T7.4
