专题能力训练17 复数与导数1.若复数z满足|z|=5,且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,|z-m|=5(m∈R),求z和m的值.2.已知复数z=,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.3.已知z,ω为复数,(1+3i)·z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,求复数ω.8\n4.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,若x>0时,xf'(x)-f(x)<0,求使得f(x)>0成立的x的取值范围.5.已知f(x)=x2-alnx(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)+2x,若函数g(x)在区间[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围.8\n6.已知f(x)=lnx+.(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是,求a的值.7.已知复数z=bi,是实数,其中i是虚数单位,b∈R.(1)求复数z;8\n(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.8.已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.9.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.8\n参考答案专题能力训练17 复数与导数1.解:设z=x+yi(x,y∈R),∵|z|=5,∴x2+y2=25.①∵(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i,它在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.∴它的实部与虚部互为相反数.∴3x-4y+4x+3y=0,即y=7x.代入①,得x=,y=或x=-,y=-.∴z=i或z=-i.当z=i时,z=1+7i,依题意|1+7i-m|=5,即(1-m)2+72=50,解得m=0或m=2.当z=-i时,z=-1-7i,同理可解得m=0或m=-2.故z=i,m=0或m=2;或z=-i,m=0或m=-2.2.解:z==1-i,由z2+az+b=1+i,得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,由复数相等得故a+b=1.3.解:设z=x+yi(x,y∈R),则(1+3i)·z=(x-3y)+(3x+y)i为纯虚数,所以x=3y≠0.因为|ω|==5,所以|z|==5.8\n又x=3y,解得x=15,y=5;x=-15,y=-5.所以ω=±=±(7-i).4.解:当x>0时,令F(x)=,则F'(x)=<0,∴当x>0时,F(x)=为减函数.∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,∴F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)>0;在(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).5.解:(1)∵f(x)=x2-alnx,∴f'(x)=x-(x>0).∴若a≤0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a>0,则函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.(2)∵g(x)=f(x)+2x,∴g'(x)=x-+2=(x>0).设h(x)=x2+2x-a(x>0),∵函数g(x)在区间[1,e]上不单调,∴g(x)在区间(1,e)上存在零点.∴⇒3<a<e2+2e.8\n又∵g(x)在x=e处取得最大值,∴只需g(e)≥g(1),即a≤+2e-.综上所述,实数a的取值范围是.6.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为a<0,所以f'(x)>0.故函数f(x)在其定义域上是单调递增的.(2)①当a≤1时,f'(x)>0,函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,这与函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是相矛盾.②当1<a<e时,在区间[1,a)上有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(a,e]上有f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(a)=lna+1.由lna+1=,得a=,符合条件.③当a≥e时,在区间[1,e)上有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,其最小值为f(e)=2,这与最小值是相矛盾.综上所述,a的值为.7.解:(1)∵z=bi(b∈R),∴i.又是实数,∴=0,得b=-2.∴复数z=-2i.(2)由(1)得z=-2i,m∈R,则(m+z)2=(m-2i)2=(m2-4)-4mi,∵复数(m+z)2所表示的点在第一象限,∴得m<-2.∴实数m的取值范围是(-∞,-2).8.解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2lnx-2,所以g'(x)=2-=.当0<a<时,g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减;8\n当a≥时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.9.解:由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=+a(2x-1)=.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞).当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;当a>0时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8).①当0<a≤时,Δ≤0,g(x)≥0,f'(x)≥0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>时,Δ>0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1<x2),因为x1+x2=-,所以x1<-,x2>-.由g(-1)=1>0,可得-1<x1<-.所以当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数有两个极值点.当a<0时,Δ>0,由g(-1)=1>0,可得x1<-1.当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;当a>时,函数f(x)有两个极值点.8
