专题能力训练14 直线与圆(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到l的距离为,则l的方程是( ) A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.x-3y-4=02.若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或123.(2022浙江宁波中学模拟)若过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( )A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=04.已知直线l:kx+y+4=0(k∈Z)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为( )ABCD.25.已知直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )ABC.[-]D6.若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为( )AB.2C.4D.27.已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线l:kx-y-2k=0(k∈R),若直线l与圆C恒有公共点,则实数k的最小值是( )A.-B.-1C.1D6\n8.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )A.(0,1)BCD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2022浙江金丽衢十二校二模)直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点 ,P(1,1)到该直线的距离最大值为 . 10.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 . 11.已知圆O:x2+y2=r2与圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)在第一象限的一个公共点为P,过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同的两点A,B(异于点P),且OA⊥OB,则直线OP的斜率为 ,r= . 12.已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取得最小值时点P的坐标为 . 13.直线l过点(-2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则l的方程为 . 14.已知A是射线x+y=0(x≤0)上的动点,B是x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值;(2)对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,求实数k的取值范围.16.6\n(本小题满分15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.6\n参考答案专题能力训练14 直线与圆1.C2.D 解析由圆x2+y2-2x-2y+1=0,知圆心(1,1),半径为1,所以=1,解得b=2或b=12.3.B 解析依题意知,点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,且为切点.因此圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为,切线的斜率k=-2.故圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.4.C 解析由l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴知,其必过圆心(-2,2),因此k=3,则过点A(0,k)斜率为1的直线m的方程为y=x+3,圆心到其距离d=,所以弦长等于2=2.故选C.5.D 解析由题意知圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离为d==1,故当|MN|≥2时,d=≤1,解得k∈.故选D.6.B 解析圆C1的方程x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)可化为(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.圆C2的方程x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)可化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1.∵圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,∴=3-1,即a2+b2=4,ab≤(a2+b2)=2.∴ab的最大值为2.7.A 解析由题意知圆心C(-2,0),半径r=2.又圆C与直线l恒有公共点,所以圆心C(-2,0)到直线l的距离d≤r.因此≤2,解得-≤k≤.所以实数k的最小值为-.8.B 图1解析(1)当直线y=ax+b与AB,BC相交时(如图1),由得yE=,又易知xD=-,∴|BD|=1+.由S△DBE=,得b=.6\n图2(2)当直线y=ax+b与AC,BC相交时(如图2),由S△FCG=(xG-xF)·|CM|=,得b=1-(∵0<a<1),∵对于任意的a>0恒成立,∴b∈,即b∈.故选B.9.(-2,3) 解析直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R),即λ(y-3)+x+2=0,令解得x=-2,y=3.故直线l恒过定点(-2,3),P(1,1)到该直线的距离最大值=.10.(x-2)2+(y-1)2=10 解析∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心为C(a,b),则有解得a=2,且b=1.因此圆心坐标为(2,1),半径r=|AC|=.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.11. 2 解析由题意知,P(1,),A(-1,),B(3,),由OA⊥OB得=-1,所以r2=4,所以r=2,P(1,),kOP=.12. 解析如图所示,圆C:(x+1)2+(y-2)2=2,圆心C(-1,2),半径r=,因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标为.13.x+y=0或x-y+4=0 解析若a=b=0,则直线l过点(0,0)与(-2,2),直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.若a≠0,b≠0,则直线l的方程为=1,由题意知解得此时,直线l的方程为x-y+4=0.综上,直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0.14.2+2 解析设A(-a,a),B(b,0)(a,b>0),则直线AB的方程是ax+(a+b)y-ab=0.因为要使直线AB与圆x2+y2=1相切,所以d==1,化简得2a2+b2+2ab=a2b2,利用基本不等式得a2b2=2a2+b2+2ab≥2ab+2ab,即ab≥2+2,从而得|AB|==ab≥2+2,当b=a,即a=,b=时,|AB|的最小值是2+2.15.解(1)∵点M,N到直线l的距离相等,6\n∴l∥MN或l过MN的中点(设其为点C).∵M(0,2),N(-2,0),∴直线MN的斜率kMN=1,MN的中点坐标为(-1,1).又∵直线l:kx-y-2k+2=0过定点(2,2)(设其为点D),∴当l∥MN时,k=kMN=1;当l过MN的中点时,k=kCD=.综上可知,k的值为1或.(2)∵对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,∴l与以MN为直径的圆相离,即圆心(-1,1)到直线l的距离大于半径,∴d=,解得k<-或k>1.16.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].6
