专题能力训练14 直线与圆(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.经过圆x2-2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是( ) A.x+2y-1=0B.x-2y-2=0C.x-2y+1=0D.x+2y+2=02.(2022浙江宁波期末考试,文3)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为( )A.[-]B.(-)C.D.3.点M(a,b)在圆x2+y2=1上,则直线ax+by=1与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定4.(2022浙江湖州期末测试)若直线y=kx-1(k∈R)被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦为AB,则|AB|的最小值是( )A.B.2C.2D.45.已知圆C:x2+y2=1,点M(t,2),若C上存在两点A,B满足,则t的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-3,3]C.[-]D.[-5,5]6.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是( )A.0≤k≤B.k<0或k>C.≤k≤D.k≤0或k>7.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为( )A.5B.10C.15D.20二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2022重庆,文12)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为 . 9.(2022浙江东阳5月模拟考试,文9)若经过点P(-3,0)的直线与圆x2+y2+4x-2y+3=0相切,则圆心坐标是 ;半径为 ;切线在y轴上的截距是 . 10.(2022浙江宁波第二次模拟考试,文12)已知实数a,b,c满足a+b=2c,则直线l:ax-by+c=0恒过定点 ,该直线被圆x2+y2=9所截得弦长的取值范围为 . 11.(2022浙江杭州地区七校第三次质量检测,文14)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)6\n12.(本小题满分14分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.13.(本小题满分15分)已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为☉H.(1)若直线l过点C,且被☉H截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)对于线段BH上的任意一点P,若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求☉C的半径r的取值范围.14.(本小题满分16分)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.6\n参考答案专题能力训练14 直线与圆1.A 解析:设与直线x+2y=0平行的直线方程是x+2y+c=0(c≠0),将圆x2-2x+y2=0的圆心(1,0)代入得c=-1,故所求方程为x+2y-1=0,应选A.2.C 解析:设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆(x-1)2+y2=1的圆心C(1,0),半径r=1,圆心C到直线l的距离d=,因为直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,所以d≤r,即≤1,解得-≤k≤,所以直线l斜率的取值范围是.故选C.3.B 解析:因为点M(a,b)在圆x2+y2=1上,所以a2+b2=1.又圆x2+y2=1的圆心到直线ax+by=1的距离为=1,所以直线ax+by=1与圆x2+y2=1的位置关系是相切.4.B 解析:结合圆的几何性质求解.因为直线y=kx-1恒过圆内定点(0,-1),所以当直线垂直于过点(0,-1)的直径时,弦长|AB|最小,所以|AB|min=2=2.故选B.5.C 解析:如图,设A(x,y),∵,∴A为MB的中点,∴B(2x-t,2y-2).又∵A,B均在圆C:x2+y2=1上,∴即由题意得方程组有解,即等价于以为圆心,为半径的圆与圆C有交点,∴1-≤1+⇒-≤t≤,则实数t的取值范围是[-].6.A 解析:将圆C的方程整理为标准方程得(x-4)2+y2=1,∴圆心C(4,0),半径r=1.∵直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,6\n∴只需圆C':(x-4)2+y2=4与y=kx-2有公共点,即圆心(4,0)到直线y=kx-2的距离d=≤2,解得0≤k≤.故选A.7.A 解析:如图,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q,则OP2+OQ2=OM2=3,∴AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20.又AC2+BD2≥2AC·BD,则AC·BD≤10,∴S四边形ABCD=AC·BD≤×10=5,当且仅当AC=BD=时等号成立,∴四边形ABCD面积的最大值为5.8.x+2y-5=0 解析:设坐标原点为O,依题意,切线l与OP垂直,而kOP=2,所以kl=-,于是切线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.9.(-2,1) -3 解析:圆的方程可化为(x+2)2+(y-1)2=2,所以其圆心为(-2,1),半径为,显然过点P(-3,0)的直线与圆相切斜率存在,设其方程为y=kx+3k,由,解得k=-1,所以切线在y轴上的截距为-3.10. [,6] 解析:∵a+b=2c,∴ax-by+c=0⇔ax-by+=0⇔a-b=0,直线l:ax-by+c=0恒过定点;当圆心与点的连线与直线l垂直时,所截弦最短,此时弦长为2,当直线l经过圆心时,所截弦最长,此时弦长为6,所以所截得弦长的取值范围为[,6].11. 解析:圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆.又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,故只需圆6\nC:(x-4)2+y2=1到直线y=kx-2的距离小于等于2即可.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,d=≤2,∴3k2-4k≤0,∴0≤k≤.∴k的最大值是.12.解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.13.解:(1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,所以外接圆圆心为H(0,3),半径为,☉H的方程为x2+(y-3)2=10.设圆心H到直线l的距离为d,因为直线l被☉H截得的弦长为2,所以d==3.当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=,直线方程为4x-3y-6=0.综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.(2)直线BH的方程为3x+y-3=0,设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),因为点M是线段PN的中点,所以M,又M,N都在半径为r的☉C上,所以即6\n因为该关于x,y的方程组有解,即以(3,2)为圆心,r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r为半径的圆有公共点,所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2,又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对∀m∈[0,1]成立.而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为,故r2≤且10≤9r2.又线段BH与圆C无公共点,所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对∀m∈[0,1]成立,即r2<.10m2-12m+10<9r2对∀m∈[0,1]成立,则有r2>.故☉C的半径r的取值范围为.14.(1)证明:∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA×OB=×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.(2)解:∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵kMN=-2,∴kOC=.∴直线OC的方程是y=x.∴t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),此时C到直线y=-2x+4的距离为.又OC=,显然不合题意.综上所述,满足条件的圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.6
