专题能力训练15 直线与圆一、能力突破训练1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( ) A.1B.2C.2D.22答案：C解析：由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=|-1-0+3|2=2,故选C.2.已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43答案：B解析：由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点,设为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-32=33x-12,它与x=1联立得圆心P坐标为1,233,则|OP|=12+2332=213.3.直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则实数k的取值范围是( )A.-∞,-125B.-∞,-125C.-∞,125D.-∞,125答案：B解析：当|MN|=23时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+3的距离为4-(3)2=1,即|k+5|1+k2=1,解得k=-125.若使|MN|≥23,则k≤-125.4.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.26B.8C.46D.10答案：C解析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16+80=46.5.已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= . 答案：48\n解析：由题意得直线l的倾斜角为π6,坐标原点O到直线l的距离为|6|1+(-3)2=3.设直线l与x轴交于点E,结合题意知B(0,23),E(-6,0),则|BE|=62+(23)2=43.因为|AB|=212-32=23,所以A为EB的中点.由题意知AC∥BD,所以C为DE的中点,即|CE|=|CD|=|AE|cosπ6=|AB|cosπ6=2332=4.6.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案：(-2,-4) 5解析：由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,x+122+(y+1)2=-54不表示圆.7.(2022山东,文12)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 . 答案：8解析：∵直线xa+yb=1过点(1,2),∴1a+2b=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8.当且仅当b=2a时“=”成立.8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是 . 答案：26-1解析：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=(2-1)2+(5-0)2=26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=26-1.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求☉O的方程;(2)若☉O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程;(3)设☉O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PA·PB的取值范围.解(1)依题意,☉O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离,即r=41+3=2.所以☉O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=|m|5.由垂径定理,得m25+(3)2=22,即m=±5.8\n所以直线MN的方程为2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+y2·(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因为PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),且点P在☉O内,所以x2+y2<4,x2-y2=2.由此得y2<1.所以PA·PB的取值范围为[-2,0).10.已知☉O:x2+y2=4,点A(3,0),以线段AB为直径的圆内切于☉O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交☉O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=3,b=1,故曲线Γ的方程为x24+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则OB⊥AB.设B(x0,y0),则x0(x0-3)+y02=0.又x024+y02=1,解得x0=23,y0=±23.8\n则kOB=±22,kAB=∓2,则直线AB的方程为y=±2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与☉C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-73<k<4+73.所以k的取值范围为4-73,4+73.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离答案：B解析：圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+a|12+12=22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2R2-d2=2a2-22a2=2a,由题意可得2a=22,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.13.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )A.(0,1)B.1-22,12C.1-22,13D.13,128\n答案：B解析：由题意可得,△ABC的面积为S=12·AB·OC=1,由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M-ba,0,由-ba≤0可得点M在射线OA上.设直线和BC的交点为N,则由y=ax+b,x+y=1,可得点N的坐标为1-ba+1,a+ba+1.①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,则-ba=-1,且a+ba+1=12,解得a=b=13.②若点M在点O和点A之间,则点N在点B和点C之间,由题意可得△NMB的面积等于12,即12·|MB|·yN=12,即12·1+ba·a+ba+1=12,解得a=b21-2b>0,则b<12.③若点M在点A的左侧,则-ba<-1,b>a,设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由y=ax+b,y=x+1,求得点P的坐标为1-ba-1,a-ba-1,此时,NP=1-ba+1-1-ba-12+a+ba+1-a-ba-12=-2(1-b)(a+1)(a-1)2+2a(b-1)(a+1)(a-1)2=4(1+a2)(1-b)2(a+1)2(a-1)2=2|1-b||(a+1)(a-1)|1+a2,此时,点C(0,1)到直线y=ax+b的距离为|0-1+b|1+a2=|b-1|1+a2,由题意可得,△CPN的面积等于12,即12·2|1-b||(a+1)(a-1)|1+a2·|b-1|1+a2=12,化简,得2(1-b)2=|a2-1|.由于此时0<a<1,∴2(1-b)2=|a2-1|=1-a2.两边开方可得2(1-b)=1-a2<1,则1-b<12,即b>1-22,综合以上可得,b=13符合题意,且b<12,b>1-22,即b的取值范围是1-22,12.14.(2022江苏,13)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 . 答案：[-52,1]解析：设P(x,y),由PA·PB≤20,易得x2+y2+12x-6y≤20.8\n把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0.由2x-y+5=0,x2+y2=50,可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为[-52,1].15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P'yx2+y2,-xx2+y2;当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 答案：②③解析：对于①,若令P(1,1),则其伴随点为P'12,-12,而P'12,-12的伴随点为(-1,-1),而不是P,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P(cosx,sinx),其伴随点为P'(sinx,-cosx)仍在单位圆上,所以②正确;③设A(x,y)与B(x,-y)为关于x轴对称的两点,则A的“伴随点”为A'yx2+y2,-xx2+y2,B点的伴随点为B'-yx2+y2,-xx2+y2,A'与B'关于y轴对称,故③正确;对于④,取直线l:y=1.设其“伴随曲线”为C,其上任一点M(x,y),与其对应的直线l上的点为N(t,1).则由定义可知x=1t2+1, ①y=-tt2+1,②①2+②2得x2+y2=1+(-t)2(t2+1)2=11+t2=x,整理得x2+y2-x=0,显然不是一条直线.故④错误.所以正确的序号为②③.16.在平面直角坐标系xOy中,已知☉C1:(x+3)2+(y-1)2=4和☉C2:(x-4)2+(y-5)2=4.8\n(1)若直线l过点A(4,0),且被☉C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与☉C1和☉C2相交,且直线l1被☉C1截得的弦长与直线l2被☉C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d=22-2322=1.由点到直线距离公式,得|-3k-1-4k|k2+1=1,化简,得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.当k=0时,直线l的方程为y=0;当k=-724时,直线l的方程为y=-724(x-4),即7x+24y-28=0.故所求直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P坐标为(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m)和y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+1km=0.∵直线l1被☉C1截得的弦长与直线l2被☉C2截得的弦长相等,两圆半径相等,∴由垂径定理得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.∴|-3k-1+n-km|k2+1=-4k-5+n+1km1k2+1,化简,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.∵关于k的方程有无穷多解,∴2-m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0.解得m=52,n=-12或m=-32,n=132.故点P坐标为52,-12或-32,132.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.8\n(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2×6-7+m|5=|m+5|5.因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤[(t+4)-6]2+(3-7)2≤5+5,解得2-221≤t≤2+221.因此,实数t的取值范围是[2-221,2+221].8
