2022届高三六校第四次联考理科数学试题本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）开始i=1,S=0S=S+输出S结束否是第3题图20221．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数是（）A．B．C．D．2．已知函数的定义域为，的定义域为．则（）A．{x|x>-1}B．{x|x＜1}C．{x|-1＜x＜1}D．3．如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（）A．B．C．D．4．若变量满足则的最大值是（）A．90B．80C．50D．405．记等比数列的前项和为，若，，则（）A．2B．6C．16D．206．已知直线：，：，过（，2）的直线与、分别交于、，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．7．已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（）A．3B．4C．5D．68．设，定义，则+2等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）12\n9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为．一年级二年级三年级女生373男生37737010．若则的值为.11．曲线在点（1，）处的切线方程为，则．（为常数）12．已知，若是它一条对称轴，则．13．如右图，等边△中，，则．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数）上一点到点， 距离之和为．15．（几何证明选讲选做题）如图2，在中，斜边，直角边，如果以C为圆心的圆与AB相切于，则的半径长为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设△的内角的对边分别为且，，若，求的值。17．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列；12\n（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。DBECA18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且．（1）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；（2）若二面角A—DE—B为60°．求AE的长。19．（本小题满分14分）数列{}的前n项和为，．（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，．求不超过的最大整数的值。12\n20．（本小题满分14分）如图所示：已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点。（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程；（3）设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D，是否存在直线使得，若存在，求出直线的方程，若不存在请说明理由。MB1DAxyOA1CBFO2O121．（本小题满分14分）已知函数f(x)=lnx，g(x)=k·．（1）求函数F(x)=f(x)g(x)的单调区间；（2）当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立，求实数k的取值范围；（3）设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1+a2+a3+…+an=1．求证：ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)>．12\n2022届高三六校第四次联考题号12345678答案DCDCDBBA理科数学试题答案1．【解析】．故选D．2．【解析】，．故选C．3．【解析】因为分母为1，3，5，7，9，…，2022，所以应填入．故选D．4．【解析】画出可行域（如图），在点取最大值．答案：C．5．【解析】，．故选D．6．【解析】设、，所以、．所以．故选B．7．【解析】如图，四棱锥．．故选B．12\n8．【解析】设终边过点的角（不妨设）则，其中是终边过的角（不妨设）．当时，有+2．故选A．二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）9．16，10．2，11．，12．，13．，14．，15．，9．【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：．10．【解析】．答案：．11．【解析】．答案：．12．【解析】由已知得，由代入得，又，所以．答案：．13．【解析】,．答案：．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．【解析】曲线表示的椭圆标准方程为，可知点，为椭圆的焦点，故．答案：．15．【解析】连则，在中，,．答案：．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）12\n16．【解析】（1），…………3分则的最小值是，最小正周期是；…………6分（2），则，…………7分,,所以，所以，，…………9分因为，所以由正弦定理得，……①…………10分由余弦定理得，即……②…………11分由①②解得：，．…………12分17．【解析】（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，．……………………4分（2）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为：．……………………7分……………………9分（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，……………………10分BEDCAMNP一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则~，一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。……12分18．【解析】（1）分别取的中点,连接,则∥,∥,且，因为，,为的中点，所以,，又因为平面⊥平面，所以平面．……………3分又平面,所以∥，……………………5分所以∥，且,因此四边形为平行四边形，BEDCAMH所以∥，所以∥，又平面，平面，所以∥平面.……………………7分12\n（或者建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算即证）（2）解法一:过作垂直的延长线于,连接.因为,,所以平面,平面则有.所以平面,平面,所以.所以为二面角的平面角，即.…………………10分在中，，则,.在中，.设，则,所以，又在中,,即=，DyBECAM(o)xz解得，所以．………………14分解法二:由（1）知平面，,建立如图所示的空间直角坐标系.设，则,,,，,.设平面的法向量则所以令,所以，………………11分又平面的法向量，所以，解得，即．……………………14分19．【解析】(1)因为，所以①当时，，则，………………………………1分12\n②当时，，……………………2分所以，即，所以，而，……………………4分所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．……………5分（2）由(1)得．所以①，②，……………7分②-①得：，……………8分.………………10分（3）由(1)知………………11分，………13分所以，故不超过的最大整数为．……………………………………………14分20．【解析】（1）解法一（几何法）设线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为,则BFMB1DAxyOA1CO1O2，……………2分又∵，……………3分∴∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。……………4分解法二（代数法）设,线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为，则，∴．……………2分12\n又∵点为线段AF的中点，∴，……………3分∴，∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。……………4分（2）设直线AB的方程为，，由，∴．……………5分由，，……………6分，故的外接圆圆心为线段的中点。设线段AB中点为点P，易证⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，．……………7分…………8分又，．…………9分（3）显然的斜率存在，设方程为：．①当时，由抛物线、椭圆的对称性可得．此时方程为：．………10分②当时，，设，则，设，，则将代入可得：．①……………12分12\n由，联立可得，②……………13分联立①②可得，解得．此时方程为：．所以存在使的直线，其方程为或．…………14分21．【解析】（1），……1分由的判别式，①当即时，恒成立，则在单调递增；……2分②当时，在恒成立，则在单调递增；……3分③当时，方程的两正根为则在单调递增，单调递减，单调递增．综上，当时，只有单调递增区间；当时，单调递增区间为，；单调递减区间为．……5分（2）即时，恒成立．当时，在单调递增，∴当时，满足条件．…7分当时，在单调递减，则在单调递减，此时不满足条件，故实数的取值范围为．……9分（3）由（2）知，在恒成立，令，则，……10分∴．……11分又，12\n∴，……13分∴．……14分12
