带电粒子在磁场中的运动类型与方法【在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题】找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角解答物理问题。〖例1〗质量为m、电荷量为q的带电粒子，进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极S1和S2间电场时，其速度为v0，经电场加速后，沿ox方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，ox垂直平板电极S2，当粒子从p点离开磁场时，其速度方向与ox方位的夹角θ=600，如图所示，整个装置处于真空中。⑴求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；⑵求粒子在磁场中运动所用时间t。16
【磁场中轨道半径变化问题】导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由r=mv/qB看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。〖例2〗如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？16
【磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题】带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字〖例3〗两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。16
【有界磁场中的极值问题】寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。〖例4〗如图所示，有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，以相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。16
【周期性和多解问题】多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解。〖例5〗在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度v从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件以及粒子在磁场中的运动时间。16
〖例6〗如图1所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=600，试分析计算：⑴带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？⑵带电粒子在磁场中运动时间多长？〖例7〗一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）16
A．B．C．D．〖例8〗如图所示，A、B为一对平行板，板长为l，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子以初速v0，从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求v0在什么范围内，粒子能从磁场内射出？〖例9〗如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下。在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x轴上有一点P，离原点的距离为a。现有一带电量+q的粒子，质量为m，从静止开始释放，要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计）16
【磁场的范围确定】〖例10〗电量为q、质量为m的带正电粒子在XOY平面内沿着Y=a的直线以速度v经Y轴上的P点射入XOY平面的第一象限。要求在第一象限内设置磁感应强度为B的一个圆形区域，使带电粒子发生偏转，最后经X轴上的M点（XM=2a）射出，且偏转角θ=60°，如图所示。试求能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径（粒子的重力不计）。16
【在磁场中运动的最长时间】当带电粒子在磁场中做圆周运动时，若粒子做圆周运动的圆心角最大，则它在磁场中运动的时间最长。〖例11〗如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad的中点O处，垂直磁场方向射入一速度为v的带正电粒子，v与ad夹角为30°。已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为l，不计粒子的重力⑴求要使粒子能从ab边射出磁场，v的大小范围abdcOv⑵粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场？16
【求最大出射范围】在磁场中的粒子源发出的粒子，可能射出磁场，常存在一个最大的出射范围。x/cmPy/cmov0θ(x，y)10〖例12〗如图所示，在真空中坐标xoy平面的x>0区域内，有磁感应强度B=1.0×10－2T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的P（10，0）点，有一放射源，在xoy平面内向各个方向发射速率v0=1.0×105m/s的带正电粒子，粒子质量m=1.0×10－26kg,粒子的带正电量为q=1.0×10－18C，试求带电粒子能打到y轴上的范围。（不计重力的影响。）L1L2dBP〖例13〗如图所示，在真空区域内存在着有界的匀强磁场，L1、L2为磁场的边界线，磁场方向垂直纸面向里，磁感强度B=1.0×10－2T。L1、L2之间的距离d=8cm.在P点有一放射源，它可以在平行纸面的方向向各个方向发射速率v=1.0×105m/s的带正电粒子，粒子质量m=1.0×10－26kg，粒子的带正电量为q=1.0×10－18C，试求：在L1上哪个范围内有粒子从磁场中射出。（不计重力的影响。）16
【求最大偏转角】带电粒子通过磁场后要发生偏转，如果粒子做圆周运动所对的圆心角最大，则粒子运动的偏转角最大。〖例14〗一个质量为m，带电量为+q的带电粒子（不计重力），以初速V0沿y轴向+y方向运动，从图中O点处开始进入一个边界为圆形的匀强磁场中，已知磁场方向垂直于纸面于向外，磁感应强度大小为B，磁场边界半径r。粒子进入磁场中将做匀速圆周运动，已知它做圆周运动的轨道半径比圆形磁场的半径r大。⑴改变圆形磁场圆心的位置，可改变粒子在磁场中的偏转角度。求粒子在磁场中的最大偏转角（用反三角函数表示）。⑵当粒子在磁场中偏转角最大时，它从磁场中射出后沿直线前进一定能打到x轴上，求满足此条件的r的取值范围。xyv0o16
【可能出现的区域】ab〖例15〗在真空中半径R=3.0×10－2m圆周区域内，有一匀强磁场，磁感应强度B=0.2T，如图所示。一些带正电的粒子以初速度v=3.0×105m/s从磁场边界上直径ab的一端a向着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向垂直。已知粒子的比荷q：m=1.0×108C/kg，不计粒子重力，则粒子在磁场中的运动半径r为多大？试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域。〖例16〗如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mv/qB。哪个图是正确的？（）16
【求投掷角和投掷速度的最小值】〖例17〗一宇宙人在太空万有引力可以忽略不计）玩垒球，辽阔的太空球场的半侧有均匀电场E，另半侧有均匀有界磁场B，电场与磁场的分界面为平面。电场方向与界面垂直，磁场方向垂直于纸面向里，它的边界分别为y=0，y=a，x=-1.5a和x=1.5a，如图所示。宇宙人位于分界面的O点上，垒球的质量为m，带的电荷量为+q。⑴若宇宙人在O点以不同的初速度v0向y轴正方向投垒球，垒球就会从AB界面或AD界面射出，并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度θ的大小与v0的大小有关。试讨论垒球从AB、AD界面射出时，v0大小及偏转角度θ各在什么范围内？xyABCDBEO⑵宇宙人是否能从O点以某个适当的投掷角（与界面所成的夹角）α投出垒球，使垒球在磁场中的运动轨迹有最大半径，并且垒球经过磁场、电场各一次回到O点？如有可能，试计算α、v0的最小值。16
【有界磁场】〖例18〗如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P，现有一质量m=4×10－20kg，带电量q=+2×10－14C的粒子，从小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域．该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求：⑴粒子在磁场中做圆周运动的半径；⑵粒子在磁场中运动的时间；⑶正三角形磁场区域的最小边长．30°OPAv016
参考答案：〖例1〗R=T=2πm/qB，t=T/6=πm/3qB。〖例2〗B2：B1=n：(n+1) n=1，2，3，……。 〖例3〗x=2[1+]a。 〖例4〗S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2-1）（mv0/Be）2。〖例5〗〖例6〗⑴若粒子带负电，。若粒子带正电，⑵若粒子带负电，若粒子带正电，.〖例7〗A、C〖例8〗当或时，粒子可以从磁场内射出。〖例9〗（1）若粒子从y轴上由静止释放，（2）若粒子在电场中的起点坐标为（），。〖例10〗R=r/2=mv/2qB。〖例11〗；，粒子将从OF之间射出。〖例12〗〖例13〗〖例14〗（1）ab(2).〖例15〗〖例16〗A〖例17〗（1）16
(2)〖例18〗（1）（2）（3）16
