专题能力训练18 统计与统计案例一、能力突破训练1.(2022全国Ⅰ,文2)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A.x1,x2,…,xn的平均数B.x1,x2,…,xn的标准差C.x1,x2,…,xn的最大值D.x1,x2,…,xn的中位数答案：B解析：标准差和方差可刻画样本数据的稳定程度,故选B.2.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个答案：D解析：由题图可知,0℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.140答案：D解析：由频率分布直方图可知,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故该区间内的人数为200×0.7=140.故选D.5\n4.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为x和s2.若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s2答案：D解析：x=x1+x2+…+x1010,s2=110[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x10-x)2],月工资增加100元后:x'=(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)10=x1+x2+…+x1010+100=x+100,s'2=110[(x1+100-x')2+(x2+100-x')2+…+(x10+100-x')2]=s2.故选D.5.已知x与y之间的一组数据:x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为y^=2.1x+0.85,则m的值为( )A.1B.0.85C.0.7D.0.5答案：D解析：由题意,得x=1.5,y=14(m+3+5.5+7)=m+15.54,将(x,y)代入线性回归方程为y^=2.1x+0.85,得m=0.5.6.某样本数据的茎叶图如图,若该组数据的中位数为85,则该组数据的平均数为 . 答案：85.3解析：依题意得,将样本数据由小到大排列,中间的两个数之和等于85×2=170,因此x=6,样本数据的平均数等于110(70×2+80×6+90×2+53)=85.3.7.(2022江苏,3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 答案：18解析：抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300×350=18(件),答案：为18.8.(2022全国Ⅲ,文18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.5\n为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天 数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为2+16+3690=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36+25+7+490=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.9.某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,得x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数是220+2402=230.5\n因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.0125×20×100=25(户),月平均用电量在[240,260)的用户有0.0075×20×100=15(户),月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.0025×20×100=5(户),抽取比例为1125+15+10+5=15,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户).二、思维提升训练10.(2022全国Ⅰ,文19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,∑i=116(i-8.5)2≈18.439,∑i=116(xi-x)·(i-8.5)=-2.78,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ⅱ)在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2.0.008≈0.09.解(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(xi-x)(i-8.5)∑i=116(xi-x)2∑i=116(i-8.5)2=-2.780.212×16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.5\n(2)(ⅰ)由于x=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ⅱ)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.11.某校对学生是否喜欢足球进行了抽样调查,男女生各抽了50名,相关数据如下表所示:不喜欢足球喜欢足球总计男生183250女生341650总计5248100(1)用分层抽样的方法在喜欢足球的学生中随机抽取6名,男生应该抽取几名?(2)在上述抽取的6名学生中任取2名,求恰有1名女生的概率.(3)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与喜欢足球有关系?参考公式及数据:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解(1)从题中所给的条件可以看出,喜欢足球的学生共48人,随机抽取6人,则抽样比为648=18.故男生应抽取32×18=4(人).(2)抽取的6名同学中,男生有4人,女生有2人,记男生为A,B,C,D,女生为a,b,则从6名学生中任取2名的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15个,其中恰有1名女生的有8个,故所求概率P=815.(3)根据表中的数据,得到k=100×(18×16-32×34)250×50×48×52≈10.256>7.879.因此,在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与喜欢足球有关系.5
